วิศวกรรมระบบควบคุม 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การแปลงลาปลาซปานกลาง

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = (4s + 31)/(s² + 4s + 4) และหาค่า f(0.2)

F(s) = (4s + 31)/(s² + 4s + 4)t = 0.2 s

f(0.2) =

2.การแปลงลาปลาซยาก

จงแก้ y″ + 7y′ + 10y = 0 โดย y(0) = −6 และ y′(0) = −8 ด้วยการแปลงลาปลาซ และหา y(0.5)

y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = −6y′(0) = −8t = 0.5 s

y(0.5) =

3.แผนภาพบล็อกปานกลาง

พืช G(s) = K/((s + 2)(s + 4)) อยู่ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้วงปิดมีการหน่วงวิกฤต (โพลจริงเท่ากันสองตัว)

G(s) = K/((s + 2)(s + 4))ป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย

K =

4.แผนภาพบล็อกยาก

ตัวควบคุมสัดส่วน K ขับพืช G(s) = 10/(s + 6) ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันขั้นสิ่งรบกวนขนาด 2 เข้าที่อินพุตของพืชขณะที่ R = 0 จงหาอัตราขยายที่น้อยที่สุด K ที่ทำให้เอาต์พุตสถานะคงตัวไม่เกิน 0.6667

G(s) = 10/(s + 6)D = 2c_ss ≤ 0.6667

K =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 26/(s² + 10s + 52) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย โพลคือ s = σ ± jω_d จงหาส่วนจริง σ

G(s) = 26/(s² + 10s + 52)

σ =

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดของระบบอันดับสองที่ไม่มีศูนย์พุ่งเกิน 15 % และยอดแรกเกิดที่ t = 0.2 s จงหาความถี่ธรรมชาติ ω_n

%OS = 15 %t_p = 0.2 s

ω_n = rad/s

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยมี L(s) = K(s + 12)/(s(s + 2)(s + 4)) โดย K > 0 จงหาอัตราขยายสูงสุด K_max ที่วงปิดเสถียร

L(s) = K(s + 12)/(s(s + 2)(s + 4))

K_max =

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

root locus ของ L(s) = K/(s(s + 5)(s + 8)) ออกจากแกนจริงระหว่าง s = 0 และ s = −5 จงหาจุดแยกออก s_b

L(s) = K/(s(s + 5)(s + 8))

s_b =

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มี G(s) = K/(s(s + 4)) ต้องตามแรมป์ r(t) = 2t ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว 0.1 จงหาอัตราขยาย K

G(s) = K/(s(s + 4))r(t) = 2te_ss = 0.1

K =

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุม PD C(s) = 4 + K_d·s ขับโรงงาน G(s) = 2/(s(s + 1)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาอัตราขยายอนุพันธ์ K_d ที่ทำให้วงปิดมีอัตราส่วนการหน่วง ζ = 0.9

G(s) = 2/(s(s + 1))K_p = 4ζ = 0.9

K_d = s

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่ต่ำผ่าน RLที่แสดงมีR = 470 Ω, L = 2.2 mH ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 340 kHz จงหาอัตราขยาย |H| = |v_out/v_in| ใน dB

R = 470 ΩL = 2.2 mHf = 340 kHz

|H| = dB

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 476/(s(s + 6)(s + 8)) จงหาความถี่จุดตัดเฟส ω₁₈₀ ที่ ∠L(jω) = −180°

L(s) = 476/(s(s + 6)(s + 8))

ω₁₈₀ = rad/s

3สารละลาย

1.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: f(0.2) = 5.765

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 4s + 4 = (s + 2)²

เศษส่วนย่อย

4s + 31 = 4(s + 2) + 23

F(s) = 4/(s + 2) + 23/(s + 2)²

การแปลงผกผัน

f(t) = 4·e^−2t + 23·t·e^−2t

f(0.2) = (4 + 23·0.2)·e^−2·0.2 = 5.765

คำตอบ

f(0.2) = 5.765

2.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.5) = −4.113

แปลงสมการ

s²Y − (−6)s − (−8) + 7(sY − (−6)) + 10Y = 0

Y(s) = (−6s − 50)/((s + 2)(s + 5))

เศษส่วนย่อย

A = −38/3 = −12.67

B = −20/(−3) = 6.667

ผลลัพธ์

y(t) = −12.67·e^−2t + 6.667·e^−5t

y(0.5) = −4.113

คำตอบ

y(0.5) = −4.113

ตรวจสอบ: y(0) = A + B = −6

3.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: K = 1

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

สมการลักษณะเฉพาะ

1 + K/((s + 2)(s + 4)) = 0 → s² + 6s + 8 + K = 0

รากซ้ำ

กำลังสอง s² + βs + γ มีรากซ้ำเมื่อ β² = 4γ

6² = 4(8 + K) → K = 36/4 − 8 = 1

คำตอบ

K = 1

โพลวงปิดทั้งสองอยู่ที่ s = −3

4.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: K = 2.4

ผลตอบสนองต่อสิ่งรบกวน

c_ss = D·G(0)/(1 + K·G(0)) = 2·10/(6 + 10K)

แก้หา K

6 + 10K = 2·10/0.6667 = 30

K = (30 − 6)/10 = 2.4

คำตอบ

K = 2.4

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: σ = −5

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 52 → ωₙ = 7.211 rad/s

2ζωₙ = 10 → ζ = 10/(2·7.211) = 0.6934

ผลลัพธ์

σ = −ζωₙ = −10/2 = −5

คำตอบ

σ = −5

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ω_n = 18.35 rad/s

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = −ln(0.15)/√(π² + ln²(0.15)) = 1.897/√(9.87 + 3.599) = 0.5169

ความถี่ธรรมชาติ

ω_d = π/t_p = π/0.2 = 15.71 rad/s

ωₙ = ω_d/√(1 − ζ²) = 15.71/0.856 = 18.35 rad/s

คำตอบ

ω_n = 18.35 rad/s

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K_max = 8

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 2)(s + 4) + K(s + 12) = s³ + 6s² + (8 + K)s + 12K

ตารางเราท์

s³: 1, 8 + K

s²: 6, 12K

s¹: (6·(8 + K) − 12K)/6

s⁰: 12K

เงื่อนไข

48 − 6K > 0

K < 48/6 = 8

คำตอบ

K_max = 8

ถ้าศูนย์อยู่ทางขวาของ s = −6 วงจะคงเสถียรสำหรับทุก K > 0

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: s_b = −2

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

อัตราขยายตามแกนจริง

K(s) = −s(s + 5)(s + 8) = −(s³ + 13s² + 40s)

จุดนิ่ง

dK/ds = −(3s² + 26s + 40) = 0

s = (−26 ± √(676 − 480))/6 = −2, −6.667

เลือกจุดบนโลคัส

โลคัสอยู่บนแกนจริงระหว่าง 0 และ −5 รากอีกตัวไม่อยู่บนโลคัส

s_b = −2

คำตอบ

s_b = −2

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K = 80

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความเร็วที่ต้องการ

K_v = A/e_ss = 2/0.1 = 20

อัตราขยาย

K = 4·K_v = 80

คำตอบ

K = 80

อัตราขยายที่มากทำให้วงนี้หน่วงน้อยมาก: ζ = 0.2236 ความขัดแย้งนั้นคือเหตุผลที่ใช้ตัวชดเชย

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K_d = 2.046 s

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 1) + 2(4 + K_ds) = s² + (1 + 2K_d)s + 8

ความถี่ธรรมชาติ

ωₙ = √8 = 2.828 rad/s

อัตราขยายอนุพันธ์

1 + 2K_d = 2·0.9·2.828 = 5.091

K_d = 2.046 s

คำตอบ

K_d = 2.046 s

พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วงโดยไม่เปลี่ยน ωₙ

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: |H| = −20.04 dB

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = R/L = 470/0.0022 = 213636 rad/s

f_c = 34001 Hz → f/f_c = 340000/34001 = 10

อัตราขยาย

|H| = 1/√(1 + 10²) = 0.09951

20·log₁₀(0.09951) = −20.04 dB

คำตอบ

|H| = −20.04 dB

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω₁₈₀ = 6.928 rad/s

จุดตัดเฟส

(ω/6)·(ω/8) = 1 → ω₁₈₀ = √(6·8) = 6.928 rad/s

คำตอบ

ω₁₈₀ = 6.928 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-1