วิศวกรรมระบบควบคุม 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การแปลงลาปลาซปานกลาง

F(s) = (s + 23)/(s² + 15s + 56) การแปลงผกผันของมันมีรูป f(t) = A·e^−7t + B·e^−8t จงหาสัมประสิทธิ์ A ด้วยเศษส่วนย่อย

F(s) = (s + 23)/(s² + 15s + 56)

A =

2.การแปลงลาปลาซยาก

จงแก้ y″ + 4y′ + 3y = 0 โดย y(0) = 3 และ y′(0) = 1 ด้วยการแปลงลาปลาซ และหา y(0.5)

y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 3y′(0) = 1t = 0.5 s

y(0.5) =

3.แผนภาพบล็อกปานกลาง

พืช G(s) = 4/(s + 5) มีวงป้อนกลับลบภายใน (ย่อย) ที่มีอัตราขยาย H₁ = 0.5 อัตราขยายของตัวควบคุม K = 17 และวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วยภายนอกปิดระบบ จงหาโพลวงปิด p

G(s) = 4/(s + 5)H₁ = 0.5K = 17

p =

4.แผนภาพบล็อกยาก

ตัวควบคุมสัดส่วน K = 5 ขับพืช G(s) = 1/(s + 10) ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย สิ่งรบกวน D เข้าที่อินพุตของพืช (บวกเข้ากับเอาต์พุตของตัวควบคุม) ป้อนฟังก์ชันขั้นอ้างอิงขนาด 5 และฟังก์ชันขั้นสิ่งรบกวนขนาด 10 พร้อมกัน จงหาเอาต์พุตสถานะคงตัว c_ss

K = 5G(s) = 1/(s + 10)D = 10R = 5

c_ss =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 15.5/(s² + 4s + 31) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาเวลาถึงจุดสูงสุด t_p ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 15.5/(s² + 4s + 31)

t_p = s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

ระบบอันดับสองที่ไม่มีศูนย์ต้องมีการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดที่พุ่งเกิน 20 % จงหาอัตราส่วนความหน่วง ζ

%OS = 20 %

ζ =

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงในแผนภาพมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด L(s) = K/(s(s + 3)(s + 10)) จงหาอัตราขยายสูงสุด K_max ที่วงปิดเสถียร

L(s) = K/(s(s + 3)(s + 10))

K_max =

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

root locus ของ L(s) = K/(s(s + 10)) แสดงไว้ จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้โพลวงปิดมีอัตราส่วนการหน่วง ζ = 0.4

L(s) = K/(s(s + 10))ζ = 0.4

K =

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มี G(s) = K/(s(s + 1)) ต้องตามแรมป์ r(t) = 10t ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว 0.5 จงหาอัตราขยาย K

G(s) = K/(s(s + 1))r(t) = 10te_ss = 0.5

K =

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุม PI C(s) = K_p + K_i/s ขับโรงงาน G(s) = 4/(s + 5) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย วงปิดต้องมี ωₙ = 10 rad/s และ ζ = 0.6 จงหาอัตราขยายสัดส่วน K_p

G(s) = 4/(s + 5)ωₙ = 10 rad/sζ = 0.6

K_p =

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

จงหาเฟส ∠G(jω) ของ G(s) = 5(s + 9)/(s(s + 5)) ที่ ω = 1 rad/s เป็นองศา

G(s) = 5(s + 9)/(s(s + 5))ω = 1 rad/s

∠G(jω) = °

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 30/(s(s + 4)) จงหาความถี่จุดตัดอัตราขยาย ω_c ที่ |L(jω)| = 1

L(s) = 30/(s(s + 4))

ω_c = rad/s

3สารละลาย

1.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: A = 16

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 15s + 56 = (s + 7)(s + 8)

F(s) = A/(s + 7) + B/(s + 8)

กฎปิดบัง

คูณด้วย (s + 7) และตั้ง s = −7: พจน์ B หายไป

A = (s + 23)/(s + 8) |_{s = −7} = 16/1 = 16

คำตอบ

A = 16

(B = −15 ดังนั้น f(t) = 16·e^−7t − 15·e^−8t)

2.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.5) = 2.586

แปลงสมการ

s²Y − 3s − 1 + 4(sY − 3) + 3Y = 0

Y(s) = (3s + 13)/((s + 1)(s + 3))

เศษส่วนย่อย

A = 10/2 = 5

B = 4/(−2) = −2

ผลลัพธ์

y(t) = 5·e^−t − 2·e^−3t

y(0.5) = 2.586

คำตอบ

y(0.5) = 2.586

ตรวจสอบ: y(0) = A + B = 3

3.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: p = −75

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

วงใน

Gᵢ = G/(1 + G·H₁) = 4/(s + 5 + 4·0.5) = 4/(s + 7)

วงนอก

T(s) = K·Gᵢ/(1 + K·Gᵢ) = 68/(s + 7 + 68) = 68/(s + 75)

ผลลัพธ์

p = −75

คำตอบ

p = −75

4.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: c_ss = 2.333

ฟังก์ชันถ่ายโอน

C/D = G/(1 + K·G) = 1/(s + 10 + 5)

C/R = K·G/(1 + K·G) = 5/(s + 10 + 5)

สภาวะคงตัว

c_ss = 5·5/15 + 10·1/15 = 2.333

คำตอบ

c_ss = 2.333

K ที่มากขึ้นลดผลของสิ่งรบกวน แต่ไม่ถึงศูนย์ด้วยตัวควบคุมสัดส่วน

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: t_p = 0.6046 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 31 → ωₙ = 5.568 rad/s

2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·5.568) = 0.3592

ผลลัพธ์

ω_d = 5.568·√(1 − 0.3592²) = 5.196 rad/s → t_p = π/ω_d = 0.6046 s

คำตอบ

t_p = 0.6046 s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ζ = 0.4559

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = −ln(0.2)/√(π² + ln²(0.2)) = 1.609/√(9.87 + 2.59) = 0.4559

คำตอบ

ζ = 0.4559

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K_max = 390

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

สมการลักษณะเฉพาะ

s³ + 13s² + 30s + K = 0

ตารางเราท์

s³: 1, 30

s²: 13, K

s¹: (13·30 − K)/13

s⁰: K

เงื่อนไข

ทุกช่องของคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก

K > 0

13·30 − K > 0 → K < 390

คำตอบ

K_max = 390

ที่ K = 390 วงปิดสั่นที่ ω = √30 = 5.477 rad/s

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K = 156.2

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

เทียบกับรูปมาตรฐาน

s² + 10s + K = s² + 2ζωₙs + ωₙ²

2·0.4·ωₙ = 10 → ωₙ = 12.5 rad/s

อัตราขยาย

K = ωₙ² = 12.5² = 156.2

คำตอบ

K = 156.2

โพลวงปิดอยู่ที่เส้น ζ ตัดกิ่งแนวตั้งที่ s = −5

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K = 20

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความเร็วที่ต้องการ

K_v = A/e_ss = 10/0.5 = 20

อัตราขยาย

K = 1·K_v = 20

คำตอบ

K = 20

อัตราขยายที่มากทำให้วงนี้หน่วงน้อยมาก: ζ = 0.1118 ความขัดแย้งนั้นคือเหตุผลที่ใช้ตัวชดเชย

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K_p = 1.75

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

1 + C(s)G(s) = 0 คูณด้วย s(s + 5)

s² + (5 + 4K_p)s + 4K_i

พหุนามเป้าหมาย

s² + 2·0.6·10s + 10² = s² + 12s + 100

จับคู่สัมประสิทธิ์

5 + 4K_p = 12 → K_p = 1.75

คำตอบ

K_p = 1.75

พจน์อินทิกรัลทำให้วงเป็นชนิด 1 ดังนั้นตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ∠G(jω) = −94.97 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

บวกมุม

∠G = atan(1/9) − 90° − atan(1/5) = 6.34° − 90° − 11.31°

ผลลัพธ์

∠G(j1) = −94.97°

คำตอบ

∠G(jω) = −94.97°

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω_c = 4.801 rad/s

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 16ω² − 900 = 0

ω² = (−16 + √(256 + 4·900))/2 = 23.05

ω_c = 4.801 rad/s

คำตอบ

ω_c = 4.801 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-1