วิศวกรรมระบบควบคุม 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การแปลงลาปลาซปานกลาง

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = (2s + 30)/(s² + 2s + 26) ด้วยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ และหาค่า f(0.2)

F(s) = (2s + 30)/(s² + 2s + 26)t = 0.2 s

f(0.2) =

2.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 6y′ + 5y = 15·u(t) โดย y(0) = 4 และ y′(0) = 0 ที่ t = 0 มีอินพุตฟังก์ชันขั้น u(t) = 2 ป้อนเข้า จงใช้การแปลงลาปลาซหา y(0.6)

y″ + 6y′ + 5y = 15·u(t)y(0) = 4y′(0) = 0u(t) = 2t = 0.6 s

y(0.6) =

3.แผนภาพบล็อกปานกลาง

พืช G(s) = 5/(s + 7) ถูกควบคุมในวงป้อนกลับลบที่ตัวตรวจจับมีอัตราขยาย H = 0.2 จงหาค่าคงที่เวลา τ ของวงปิด

G(s) = 5/(s + 7)H = 0.2

τ = s

4.แผนภาพบล็อกยาก

พืช G(s) = K/(s(s + 2)(s + 10)) อยู่ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย ใช้เกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์หาอัตราขยายที่มากที่สุด K_max ที่วงปิดยังเสถียร

G(s) = K/(s(s + 2)(s + 10))ป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย

K_max =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 39/(s² + 3s + 78) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย โพลคือ s = σ ± jω_d จงหาส่วนจริง σ

G(s) = 39/(s² + 3s + 78)

σ =

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

วงจร RLC อนุกรมที่มี R = 3 Ω, L = 20 mH และ C = 100 µF ต่อกับแหล่งกำเนิดขั้นบันได 12 V ที่ t = 0 ตัวเก็บประจุยังไม่มีประจุ และไม่มีกระแสไหลก่อนการเปลี่ยนขั้น จงหาความถี่ธรรมชาติแบบไม่หน่วง ω_n เป็น rad/s

R = 3 ΩL = 20 mHC = 100 µFV = 12 V

ω_n = rad/s

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงในแผนภาพมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด L(s) = K/(s(s + 2)(s + 8)) อัตราขยายถูกเพิ่มจนวงปิดอยู่ที่ขอบของเสถียรภาพ จงหาความถี่ ω ของการสั่นที่คงอยู่

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 8))

ω = rad/s

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

root locus ของ L(s) = K/(s(s + 2)(s + 6)) ออกจากแกนจริงระหว่าง s = 0 และ s = −2 จงหาจุดแยกออก s_b

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 6))

s_b =

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มี G(s) = K/(s(s + 5)) ต้องตามแรมป์ r(t) = 1t ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว 0.05 จงหาอัตราขยาย K

G(s) = K/(s(s + 5))r(t) = 1te_ss = 0.05

K =

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุมสัดส่วน K ขับโรงงาน G(s) = 5/(s(s + 4)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้วงปิดมีอัตราส่วนการหน่วง ζ = 0.6

G(s) = 5/(s(s + 4))ζ = 0.6

K =

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่สูงผ่าน RLที่แสดงมีR = 10 Ω, L = 1 mH ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 4.8 kHz จงหาอัตราขยาย |H| = |v_out/v_in| ใน dB

R = 10 ΩL = 1 mHf = 4.8 kHz

|H| = dB

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 150/(s(s + 5)) จงหาความถี่จุดตัดอัตราขยาย ω_c ที่ |L(jω)| = 1

L(s) = 150/(s(s + 5))

ω_c = rad/s

3สารละลาย

1.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: f(0.2) = 4.743

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

s² + 2s + 26 = (s + 1)² + 25 = (s + 1)² + 5²

จับคู่เศษ

F(s) = 2·(s + 1)/((s + 1)² + 5²) + (28/5)·5/((s + 1)² + 5²)

การแปลงผกผัน

f(t) = e^−t·(2·cos 5t + 5.6·sin 5t)

f(0.2) = e^−0.2·(2·cos(5·0.2) + 5.6·sin(5·0.2)) = 4.743

คำตอบ

f(0.2) = 4.743

2.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.6) = 4.653

แปลงสมการ

(s² + 6s + 5)·Y(s) = 4s + 24 + 30/s

Y(s) = (4s² + 24s + 30)/(s(s + 1)(s + 5))

เศษส่วนย่อย

A = 30/(1·5) = 6

B = 10/((−1)·4) = −2.5

C = 10/((−5)·(−4)) = 0.5

ผลลัพธ์

y(t) = 6 − 2.5·e^−t + 0.5·e^−5t

y(0.6) = 4.653

คำตอบ

y(0.6) = 4.653

ตรวจสอบ: y(0) = A + B + C = 4

3.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: τ = 0.125 s

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = G/(1 + G·H) = 5/(s + 7 + 1) = 5/(s + 8)

ผลลัพธ์

τ = 1/8 = 0.125 s

คำตอบ

τ = 0.125 s

4.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: K_max = 240

สมการลักษณะเฉพาะ

s³ + 12s² + 20s + K = 0

ตารางเราท์

s³ | 1 20

s² | 12 K

s¹ | (12·20 − K)/12

s⁰ | K

ขีดจำกัดเสถียรภาพ

ทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก

K_max = 12·20 = 240

คำตอบ

K_max = 240

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: σ = −1.5

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 78 → ωₙ = 8.832 rad/s

2ζωₙ = 3 → ζ = 3/(2·8.832) = 0.1698

ผลลัพธ์

σ = −ζωₙ = −3/2 = −1.5

คำตอบ

σ = −1.5

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ω_n = 707.1 rad/s

ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนความหน่วง

ωₙ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·1 × 10⁻⁴) = 707.1 rad/s

ζ = (R/2)·√(C/L) = (3/2)·√(1 × 10⁻⁴/0.02) = 0.1061

ผลลัพธ์

ωₙ = 707.1 rad/s

คำตอบ

ω_n = 707.1 rad/s

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: ω = 4 rad/s

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

ตารางเราท์

s³ + 10s² + 16s + K = 0

s³: 1, 16

s²: 10, K

s¹: (10·16 − K)/10

s⁰: K

อัตราขยายวิกฤต

K = 10·16 = 160

สมการช่วย

ที่อัตราขยายวิกฤตแถว s¹ เป็นศูนย์ แถว s² ให้โพลบนแกนจินตภาพ

10s² + 160 = 0 → s = ±j√16

ω = 4 rad/s

คำตอบ

ω = 4 rad/s

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: s_b = −0.9028

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

อัตราขยายตามแกนจริง

K(s) = −s(s + 2)(s + 6) = −(s³ + 8s² + 12s)

จุดนิ่ง

dK/ds = −(3s² + 16s + 12) = 0

s = (−16 ± √(256 − 144))/6 = −0.9028, −4.431

เลือกจุดบนโลคัส

โลคัสอยู่บนแกนจริงระหว่าง 0 และ −2 รากอีกตัวไม่อยู่บนโลคัส

s_b = −0.9028

คำตอบ

s_b = −0.9028

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K = 100

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความเร็วที่ต้องการ

K_v = A/e_ss = 1/0.05 = 20

อัตราขยาย

K = 5·K_v = 100

คำตอบ

K = 100

อัตราขยายที่มากทำให้วงนี้หน่วงน้อยมาก: ζ = 0.25 ความขัดแย้งนั้นคือเหตุผลที่ใช้ตัวชดเชย

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K = 2.222

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 4) + 5K = s² + 4s + 5K

ความถี่ธรรมชาติ

2·0.6·ωₙ = 4 → ωₙ = 3.333 rad/s

อัตราขยาย

5K = ωₙ² = 11.11 → K = 2.222

คำตอบ

K = 2.222

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: |H| = −0.453 dB

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = R/L = 10/0.001 = 10000 rad/s

f_c = 1592 Hz → f/f_c = 4800/1592 = 3.016

อัตราขยาย

|H| = 3.016/√(1 + 3.016²) = 0.9492

20·log₁₀(0.9492) = −0.453 dB

คำตอบ

|H| = −0.453 dB

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω_c = 11.75 rad/s

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 25ω² − 22500 = 0

ω² = (−25 + √(625 + 4·22500))/2 = 138

ω_c = 11.75 rad/s

คำตอบ

ω_c = 11.75 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-1