วิศวกรรมระบบควบคุม 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การแปลงลาปลาซปานกลาง

F(s) = (3s + 21)/(s² + 7s + 10) การแปลงผกผันของมันมีรูป f(t) = A·e^−2t + B·e^−5t จงหาสัมประสิทธิ์ A ด้วยเศษส่วนย่อย

F(s) = (3s + 21)/(s² + 7s + 10)

A =

2.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 9y′ + 20y = 30·u(t) เริ่มจากหยุดนิ่ง (y(0) = 0, y′(0) = 0) และอินพุตเป็นฟังก์ชันขั้น u(t) = 2 สำหรับ t ≥ 0 จงใช้การแปลงลาปลาซหาเอาต์พุต y(0.1)

y″ + 9y′ + 20y = 30·u(t)u(t) = 2y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0.1 s

y(0.1) =

3.แผนภาพบล็อกปานกลาง

พืช G(s) = 9/(s + 3) ถูกควบคุมในวงป้อนกลับลบที่ตัวตรวจจับมีอัตราขยาย H = 0.25 ป้อนฟังก์ชันขั้นขนาด 5 ที่ R จงหาเอาต์พุตสถานะคงตัว c_ss

G(s) = 9/(s + 3)H = 0.25R = 5

c_ss =

4.แผนภาพบล็อกยาก

ลดรูปแผนภาพบล็อกที่มี G₁ = 19/(s + 3), G₂ = 8/(s + 1) การป้อนกลับลบภายใน H₁ = 1 รอบ G₂ และการป้อนกลับลบภายนอก H₂ = 0.2 จงหาอัตราขยาย DC T(0) ของ C(s)/R(s)

G₁ = 19/(s + 3)G₂ = 8/(s + 1)H₁ = 1H₂ = 0.2

T(0) =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 180/(s² + 2s + 60) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 180/(s² + 2s + 60)

%OS = %

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = K/(s(s + 16)) จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดพุ่งเกิน 5 %

G(s) = K/(s(s + 16))%OS = 5 %

K =

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงในแผนภาพมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด L(s) = K/(s(s + 4)(s + 5)) อัตราขยายถูกเพิ่มจนวงปิดอยู่ที่ขอบของเสถียรภาพ จงหาความถี่ ω ของการสั่นที่คงอยู่

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 5))

ω = rad/s

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

root locus ของ L(s) = K/(s(s + 6)(s + 8)) ออกจากแกนจริงระหว่าง s = 0 และ s = −6 จงหาจุดแยกออก s_b

L(s) = K/(s(s + 6)(s + 8))

s_b =

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยมี G(s) = K/((s + 4)(s + 10)) จงหาอัตราขยาย K ที่ให้ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว 5 % สำหรับอินพุตขั้น

G(s) = K/((s + 4)(s + 10))e_ss = 5 %

K =

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุม PI C(s) = 1 + 4/s ขับโรงงาน G(s) = 4/((s + 5)(s + 10)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว e_ss สำหรับอินพุตแรมป์ r(t) = 5t

C(s) = 1 + 4/sG(s) = 4/((s + 5)(s + 10))r(t) = 5t

e_ss =

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่สูงผ่าน RLที่แสดงมีR = 10 Ω, L = 100 mH ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 3.2 Hz จงหาอัตราขยาย |H| = |v_out/v_in| ใน dB

R = 10 ΩL = 100 mHf = 3.2 Hz

|H| = dB

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 18/(s(s + 2)(s + 5)) จงหาขอบอัตราขยาย GM ใน dB

L(s) = 18/(s(s + 2)(s + 5))

GM = dB

3สารละลาย

1.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: A = 5

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 7s + 10 = (s + 2)(s + 5)

F(s) = A/(s + 2) + B/(s + 5)

กฎปิดบัง

คูณด้วย (s + 2) และตั้ง s = −2: พจน์ B หายไป

A = (3s + 21)/(s + 5) |_{s = −2} = 15/3 = 5

คำตอบ

A = 5

(B = −2 ดังนั้น f(t) = 5·e^−2t − 2·e^−5t)

2.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.1) = 0.2236

แปลงสมการ

Y(s) = 60/(s(s + 4)(s + 5))

เศษส่วนย่อย

A = 60/(4·5) = 3

B = 60/((−4)·1) = −15

C = 60/((−5)·(−1)) = 12

สารน้ำออก

y(t) = 3 − 15·e^−4t + 12·e^−5t

y(0.1) = 0.2236

คำตอบ

y(0.1) = 0.2236

3.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: c_ss = 8.571

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = G/(1 + G·H) = 9/(s + 3 + 2.25) = 9/(s + 5.25)

ผลลัพธ์

c_ss = R·T(0) = 5·9/5.25 = 8.571

คำตอบ

c_ss = 8.571

4.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: T(0) = 2.648

วงใน

Gᵢ = G₂/(1 + G₂H₁) = 8/(s + 9)

วงนอก

T(s) = G₁Gᵢ/(1 + G₁GᵢH₂) = 152/((s + 3)(s + 9) + 30.4)

อัตราขยาย DC

T(0) = 152/(3·9 + 30.4) = 152/57.4 = 2.648

คำตอบ

T(0) = 2.648

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: %OS = 66.43 %

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 60 → ωₙ = 7.746 rad/s

2ζωₙ = 2 → ζ = 2/(2·7.746) = 0.1291

ผลลัพธ์

%OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} = 100·e^−0.409 = 66.43 %

คำตอบ

%OS = 66.43 %

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: K = 134.4

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = K/(s² + 16s + K)

อัตราส่วนความหน่วงจากค่าพุ่งเกิน

ζ = −ln(0.05)/√(π² + ln²(0.05)) = 0.6901

อัตราขยาย

ωₙ = 16/(2ζ) = 11.59 rad/s

K = ωₙ² = 134.4

คำตอบ

K = 134.4

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: ω = 4.472 rad/s

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

ตารางเราท์

s³ + 9s² + 20s + K = 0

s³: 1, 20

s²: 9, K

s¹: (9·20 − K)/9

s⁰: K

อัตราขยายวิกฤต

K = 9·20 = 180

สมการช่วย

ที่อัตราขยายวิกฤตแถว s¹ เป็นศูนย์ แถว s² ให้โพลบนแกนจินตภาพ

9s² + 180 = 0 → s = ±j√20

ω = 4.472 rad/s

คำตอบ

ω = 4.472 rad/s

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: s_b = −2.263

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

อัตราขยายตามแกนจริง

K(s) = −s(s + 6)(s + 8) = −(s³ + 14s² + 48s)

จุดนิ่ง

dK/ds = −(3s² + 28s + 48) = 0

s = (−28 ± √(784 − 576))/6 = −2.263, −7.07

เลือกจุดบนโลคัส

โลคัสอยู่บนแกนจริงระหว่าง 0 และ −6 รากอีกตัวไม่อยู่บนโลคัส

s_b = −2.263

คำตอบ

s_b = −2.263

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K = 760

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ต้องการ

1/(1 + K_p) = 0.05 → K_p = 19

อัตราขยาย

K/40 = 19 → K = 760

คำตอบ

K = 760

ตรวจสอบเสถียรภาพวงปิดด้วย: สำหรับวงอันดับสองนี้ K > 0 ใด ๆ เสถียร

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: e_ss = 15.63

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

ค่าคงที่ความเร็ว

s·C(s) = 1s + 4 → 4 เมื่อ s → 0

K_v = 4·4/50 = 0.32

ค่าความคลาดเคลื่อนของแรมป์

e_ss = 5/0.32 = 15.63

คำตอบ

e_ss = 15.63

ตัวควบคุม PI กำจัดค่าความคลาดเคลื่อนของขั้นได้หมด ส่วนแรมป์ถูกตามด้วยการล้าหลังคงที่

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: |H| = −14.11 dB

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = R/L = 10/0.1 = 100 rad/s

f_c = 15.92 Hz → f/f_c = 3.2/15.92 = 0.2011

อัตราขยาย

|H| = 0.2011/√(1 + 0.2011²) = 0.1971

20·log₁₀(0.1971) = −14.11 dB

คำตอบ

|H| = −14.11 dB

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: GM = 11.8 dB

จุดตัดเฟส

(ω/2)·(ω/5) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·5) = 3.162 rad/s

ขนาดที่จุดตัดเฟส

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 25)) = K/(2·5·(2 + 5)) = K/70

ขอบอัตราขยาย

GM = 20·log₁₀(70/18) = 11.8 dB

คำตอบ

GM = 11.8 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-1