วิศวกรรมระบบควบคุม 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การแปลงลาปลาซปานกลาง

F(s) = (5s + 33)/(s² + 3s + 2) การแปลงผกผันของมันมีรูป f(t) = A·e^−t + B·e^−2t จงหาสัมประสิทธิ์ A ด้วยเศษส่วนย่อย

F(s) = (5s + 33)/(s² + 3s + 2)

A =

2.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 6y′ + 5y = 20·u(t) โดย y(0) = 6 และ y′(0) = 0 ที่ t = 0 มีอินพุตฟังก์ชันขั้น u(t) = 10 ป้อนเข้า จงใช้การแปลงลาปลาซหา y(0.4)

y″ + 6y′ + 5y = 20·u(t)y(0) = 6y′(0) = 0u(t) = 10t = 0.4 s

y(0.4) =

3.แผนภาพบล็อกปานกลาง

พืช G(s) = 1/(s + 1) มีวงป้อนกลับลบภายใน (ย่อย) ที่มีอัตราขยาย H₁ = 3 อัตราขยายของตัวควบคุม K = 4 และวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วยภายนอกปิดระบบ จงหาโพลวงปิด p

G(s) = 1/(s + 1)H₁ = 3K = 4

p =

4.แผนภาพบล็อกยาก

ตัวควบคุมสัดส่วน K ขับพืช G(s) = 4/(s + 7) ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันขั้นสิ่งรบกวนขนาด 0.5 เข้าที่อินพุตของพืชขณะที่ R = 0 จงหาอัตราขยายที่น้อยที่สุด K ที่ทำให้เอาต์พุตสถานะคงตัวไม่เกิน 0.05714

G(s) = 4/(s + 7)D = 0.5c_ss ≤ 0.05714

K =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 8/(s² + 4s + 8) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย หาอัตราส่วนการหน่วง ζ

G(s) = 8/(s² + 4s + 8)

ζ =

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = 285/(s(s + 6)) จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดของลูปปิด โดยใช้ t_s ≈ 4/(ζωₙ)

G(s) = 285/(s(s + 6))

t_s = s

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

โรงงาน G(s) = (s + 4)/((s − 1)(s + 3)) มีโพลไม่เสถียรที่ s = 1 อัตราขยายสัดส่วน K ปิดวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยรอบมัน จงหาอัตราขยายที่น้อยที่สุด K_min ที่ทำให้วงปิดเสถียร

G(s) = (s + 4)/((s − 1)(s + 3))

K_min =

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

root locus ของ L(s) = K/(s(s + 6)) แสดงไว้ จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้โพลวงปิดมีอัตราส่วนการหน่วง ζ = 0.8

L(s) = K/(s(s + 6))ζ = 0.8

K =

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มี G(s) = K/(s(s + 1)) ต้องตามแรมป์ r(t) = 1t ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว 0.02 จงหาอัตราขยาย K

G(s) = K/(s(s + 1))r(t) = 1te_ss = 0.02

K =

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุม PI C(s) = K_p + K_i/s ขับโรงงาน G(s) = 10/(s + 5) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย วงปิดต้องมี ωₙ = 8 rad/s และ ζ = 1 จงหาอัตราขยายสัดส่วน K_p

G(s) = 10/(s + 5)ωₙ = 8 rad/sζ = 1

K_p =

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่สูงผ่าน RCที่แสดงมีR = 3.3 kΩ, C = 47 nF ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 10 kHz จงหาการเลื่อนเฟส φ ของ v_out เทียบกับ v_in เป็นองศา

R = 3.3 kΩC = 47 nFf = 10 kHz

φ = °

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 960/(s(s + 20)) จงหาขอบเฟส PM เป็นองศา

L(s) = 960/(s(s + 20))

PM = °

3สารละลาย

1.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: A = 28

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2)

F(s) = A/(s + 1) + B/(s + 2)

กฎปิดบัง

คูณด้วย (s + 1) และตั้ง s = −1: พจน์ B หายไป

A = (5s + 33)/(s + 2) |_{s = −1} = 28/1 = 28

คำตอบ

A = 28

(B = −23 ดังนั้น f(t) = 28·e^−t − 23·e^−2t)

2.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.4) = 12.66

แปลงสมการ

(s² + 6s + 5)·Y(s) = 6s + 36 + 200/s

Y(s) = (6s² + 36s + 200)/(s(s + 1)(s + 5))

เศษส่วนย่อย

A = 200/(1·5) = 40

B = 170/((−1)·4) = −42.5

C = 170/((−5)·(−4)) = 8.5

ผลลัพธ์

y(t) = 40 − 42.5·e^−t + 8.5·e^−5t

y(0.4) = 12.66

คำตอบ

y(0.4) = 12.66

ตรวจสอบ: y(0) = A + B + C = 6

3.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: p = −8

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

วงใน

Gᵢ = G/(1 + G·H₁) = 1/(s + 1 + 1·3) = 1/(s + 4)

วงนอก

T(s) = K·Gᵢ/(1 + K·Gᵢ) = 4/(s + 4 + 4) = 4/(s + 8)

ผลลัพธ์

p = −8

คำตอบ

p = −8

4.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: K = 7

ผลตอบสนองต่อสิ่งรบกวน

c_ss = D·G(0)/(1 + K·G(0)) = 0.5·4/(7 + 4K)

แก้หา K

7 + 4K = 0.5·4/0.05714 = 35

K = (35 − 7)/4 = 7

คำตอบ

K = 7

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ζ = 0.7071

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 8 → ωₙ = 2.828 rad/s

2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·2.828) = 0.7071

ผลลัพธ์

ζ = 0.7071

คำตอบ

ζ = 0.7071

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: t_s = 1.333 s

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = 285/(s² + 6s + 285): ωₙ = 16.88 rad/s, ζ = 0.1777

เวลาเข้าสู่ค่าคงตัว

ζωₙ = 6/2 = 3

t_s ≈ 4/(ζωₙ) = 1.333 s

คำตอบ

t_s = 1.333 s

สำหรับลูปนี้ ζωₙ = a/2 ไม่ว่า K จะเป็นเท่าใด การเพิ่ม K ทำให้พุ่งเกินมากขึ้นแต่ไม่ทำให้เวลาเข้าสู่ค่าคงตัวสั้นลง

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K_min = 0.75

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

พหุนามลักษณะเฉพาะ

(s − 1)(s + 3) + K(s + 4) = s² + (2 + K)s + (4K − 3)

เงื่อนไข

สำหรับ s² + c₁s + c₀ รากทั้งหมดอยู่ในครึ่งระนาบซ้ายเมื่อ c₁ > 0 และ c₀ > 0 พอดี

2 + K > 0 → K > −2

4K − 3 > 0 → K > 0.75

K_min = 0.75

คำตอบ

K_min = 0.75

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K = 14.06

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

เทียบกับรูปมาตรฐาน

s² + 6s + K = s² + 2ζωₙs + ωₙ²

2·0.8·ωₙ = 6 → ωₙ = 3.75 rad/s

อัตราขยาย

K = ωₙ² = 3.75² = 14.06

คำตอบ

K = 14.06

โพลวงปิดอยู่ที่เส้น ζ ตัดกิ่งแนวตั้งที่ s = −3

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K = 50

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความเร็วที่ต้องการ

K_v = A/e_ss = 1/0.02 = 50

อัตราขยาย

K = 1·K_v = 50

คำตอบ

K = 50

อัตราขยายที่มากทำให้วงนี้หน่วงน้อยมาก: ζ = 0.07071 ความขัดแย้งนั้นคือเหตุผลที่ใช้ตัวชดเชย

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K_p = 1.1

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

1 + C(s)G(s) = 0 คูณด้วย s(s + 5)

s² + (5 + 10K_p)s + 10K_i

พหุนามเป้าหมาย

s² + 2·1·8s + 8² = s² + 16s + 64

จับคู่สัมประสิทธิ์

5 + 10K_p = 16 → K_p = 1.1

คำตอบ

K_p = 1.1

พจน์อินทิกรัลทำให้วงเป็นชนิด 1 ดังนั้นตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: φ = 5.859 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = 1/(RC) = 1/(3300·4.7 × 10⁻⁸) = 6447 rad/s

f_c = 1026 Hz → f/f_c = 10000/1026 = 9.745

เฟส

φ = 90° − atan(9.745) = 5.859°

คำตอบ

φ = 5.859°

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: PM = 35.6 °

จุดตัดอัตราขยาย

ω⁴ + 400ω² − 921600 = 0

ω² = (−400 + √(160000 + 4·921600))/2 = 780.6

ω_c = 27.94 rad/s

ขอบเฟส

∠L(jω_c) = −90° − atan(27.94/20) = −144.4°

PM = 180° + ∠L = 35.6°

คำตอบ

PM = 35.6°

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-1