วิศวกรรมระบบควบคุม 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การแปลงลาปลาซปานกลาง

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = (3s + 40)/(s² + 8s + 32) ด้วยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ และหาค่า f(0.4)

F(s) = (3s + 40)/(s² + 8s + 32)t = 0.4 s

f(0.4) =

2.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ y″ + 6y′ + 13y = 17u โดยมีอินพุต u(t) และเอาต์พุต y(t) จงหาฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = Y(s)/U(s) (เงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์) และหาผลตอบสนองอิมพัลส์ g(t) ที่ t = 0.25 s จงหา g(0.25)

y″ + 6y′ + 13y = 17ut = 0.25 s

g(0.25) =

3.แผนภาพบล็อกปานกลาง

พืช G(s) = 1/(s + 2) มีวงป้อนกลับลบภายใน (ย่อย) ที่มีอัตราขยาย H₁ = 3 อัตราขยายของตัวควบคุม K = 17 และวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วยภายนอกปิดระบบ จงหาอัตราขยาย DC วงปิด T(0)

G(s) = 1/(s + 2)H₁ = 3K = 17

T(0) =

4.แผนภาพบล็อกยาก

ลดรูปแผนภาพบล็อกที่มี G₁ = 15/(s + 2), G₂ = 9/(s + 4) การป้อนกลับลบภายใน H₁ = 0.5 รอบ G₂ และการป้อนกลับลบภายนอก H₂ = 1 จงหาอัตราขยาย DC T(0) ของ C(s)/R(s)

G₁ = 15/(s + 2)G₂ = 9/(s + 4)H₁ = 0.5H₂ = 1

T(0) =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 60/(s² + 3s + 60) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 60/(s² + 3s + 60)

%OS = %

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

วงจร RLC อนุกรมที่มี R = 179 Ω, L = 200 mH และ C = 1 µF ต่อกับแหล่งกำเนิดขั้นบันได 12 V ที่ t = 0 ตัวเก็บประจุยังไม่มีประจุ และไม่มีกระแสไหลก่อนการเปลี่ยนขั้น จงหาค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS ของแรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุ

R = 179 ΩL = 200 mHC = 1 µFV = 12 V

%OS = %

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงในแผนภาพทำงานที่ K = 44 และ L(s) = K/(s(s + 1)(s + 10)) เพิ่มอัตราขยายได้กี่เท่า m ก่อนที่วงปิดจะไม่เสถียร

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 10))K = 44

m =

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

root locus ของ L(s) = K(s + 7)/(s(s + 3)) ออกจากแกนจริงระหว่าง s = 0 และ s = −3 วนเป็นวงกลมและรวมแกนจริงอีกครั้งทางซ้ายของศูนย์ จงหาจุดแยกออก s_b

L(s) = K(s + 7)/(s(s + 3))

s_b =

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยมี G(s) = K/((s + 4)(s + 10)) จงหาอัตราขยาย K ที่ให้ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว 2 % สำหรับอินพุตขั้น

G(s) = K/((s + 4)(s + 10))e_ss = 2 %

K =

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุมสัดส่วน K = 5 ขับโรงงาน G(s) = 2/(s(s + 2)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 2/(s(s + 2))K = 5

%OS = %

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ในตัวกรองแถบผ่าน RLC อนุกรมที่แสดง เอาต์พุตอยู่คร่อม R = 20 Ω โดย L = 20 mH และ C = 4.7 µF จงหาแบนด์วิดท์ −3 dB BW ใน Hz

R = 20 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF

BW = Hz

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 20/(s(s + 1)(s + 10)) จงหาความถี่จุดตัดเฟส ω₁₈₀ ที่ ∠L(jω) = −180°

L(s) = 20/(s(s + 1)(s + 10))

ω₁₈₀ = rad/s

3สารละลาย

1.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: f(0.4) = 1.395

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

s² + 8s + 32 = (s + 4)² + 16 = (s + 4)² + 4²

จับคู่เศษ

F(s) = 3·(s + 4)/((s + 4)² + 4²) + (28/4)·4/((s + 4)² + 4²)

การแปลงผกผัน

f(t) = e^−4t·(3·cos 4t + 7·sin 4t)

f(0.4) = e^−4·0.4·(3·cos(4·0.4) + 7·sin(4·0.4)) = 1.395

คำตอบ

f(0.4) = 1.395

2.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: g(0.25) = 1.925

ฟังก์ชันถ่ายโอน

G(s) = Y(s)/U(s) = 17/(s² + 6s + 13)

เศษส่วนย่อย

s² + 6s + 13 = (s + 3)² + 2²

G(s) = (17/2)·2/((s + 3)² + 2²)

ผลตอบสนองอิมพัลส์

g(t) = e^−3t·(8.5·sin 2t)

g(0.25) = 1.925

คำตอบ

g(0.25) = 1.925

3.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: T(0) = 0.7727

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

วงใน

Gᵢ = G/(1 + G·H₁) = 1/(s + 2 + 1·3) = 1/(s + 5)

วงนอก

T(s) = K·Gᵢ/(1 + K·Gᵢ) = 17/(s + 5 + 17) = 17/(s + 22)

ผลลัพธ์

T(0) = 17/22 = 0.7727

คำตอบ

T(0) = 0.7727

4.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: T(0) = 0.8882

วงใน

Gᵢ = G₂/(1 + G₂H₁) = 9/(s + 8.5)

วงนอก

T(s) = G₁Gᵢ/(1 + G₁GᵢH₂) = 135/((s + 2)(s + 8.5) + 135)

อัตราขยาย DC

T(0) = 135/(2·8.5 + 135) = 135/152 = 0.8882

คำตอบ

T(0) = 0.8882

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: %OS = 53.79 %

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 60 → ωₙ = 7.746 rad/s

2ζωₙ = 3 → ζ = 3/(2·7.746) = 0.1936

ผลลัพธ์

%OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} = 100·e^−0.6201 = 53.79 %

คำตอบ

%OS = 53.79 %

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: %OS = 52.64 %

ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนความหน่วง

ωₙ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·1 × 10⁻⁶) = 2236 rad/s

ζ = (R/2)·√(C/L) = (179/2)·√(1 × 10⁻⁶/0.2) = 0.2001

ผลลัพธ์

%OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} = 52.64 %

คำตอบ

%OS = 52.64 %

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: m = 2.5

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

ตารางเราท์

s³ + 11s² + 10s + K = 0

s³: 1, 10

s²: 11, K

s¹: (11·10 − K)/11

s⁰: K

อัตราขยายสูงสุดที่เสถียร

K_max = 11·10 = 110

ตัวประกอบ

m = 110/44 = 2.5

คำตอบ

m = 2.5

ตัวประกอบนี้คือขอบอัตราขยายเป็นอัตราส่วน: 7.959 dB

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: s_b = −1.708

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

อัตราขยายตามแกนจริง

K(s) = −(s² + 3s)/(s + 7)

จุดนิ่ง

หาอนุพันธ์ด้วยกฎผลหารและตั้งตัวเศษเป็นศูนย์

(2s + 3)(s + 7) − (s² + 3s) = s² + 14s + 21 = 0

s = −7 ± √28 = −1.708, −12.29

จุดแยกออก

s_b = −1.708

คำตอบ

s_b = −1.708

ระหว่างจุดแยกทั้งสอง โลคัสเป็นวงกลมที่มีศูนย์กลางที่ศูนย์ รัศมี √28 = 5.292

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K = 1960

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ต้องการ

1/(1 + K_p) = 0.02 → K_p = 49

อัตราขยาย

K/40 = 49 → K = 1960

คำตอบ

K = 1960

ตรวจสอบเสถียรภาพวงปิดด้วย: สำหรับวงอันดับสองนี้ K > 0 ใด ๆ เสถียร

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: %OS = 35.09 %

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 2) + 5·2 = s² + 2s + 10

ωₙ และ ζ

ωₙ = √10 = 3.162 rad/s

ζ = 2/(2·3.162) = 0.3162

การเกินเลย

%OS = 100·e^{−0.3162π/√(1 − 0.3162²)} = 35.09 %

คำตอบ

%OS = 35.09 %

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: BW = 159.2 Hz

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่เรโซแนนซ์

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·4.7 × 10⁻⁶) = 3262 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 519.1 Hz

แบนด์วิดท์

BW = R/L = 20/0.02 = 1000 rad/s = 159.2 Hz

คำตอบ

BW = 159.2 Hz

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω₁₈₀ = 3.162 rad/s

จุดตัดเฟส

(ω/1)·(ω/10) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·10) = 3.162 rad/s

คำตอบ

ω₁₈₀ = 3.162 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-1