วิศวกรรมระบบควบคุม 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การแปลงลาปลาซปานกลาง

F(s) = (6s + 12)/(s² + 7s + 12) การแปลงผกผันของมันมีรูป f(t) = A·e^−3t + B·e^−4t จงหาสัมประสิทธิ์ A ด้วยเศษส่วนย่อย

F(s) = (6s + 12)/(s² + 7s + 12)

A =

2.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ y″ + 6y′ + 34y = 4u′ + 8u โดยมีอินพุต u(t) และเอาต์พุต y(t) จงหาฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = Y(s)/U(s) (เงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์) และหาผลตอบสนองอิมพัลส์ g(t) ที่ t = 0.4 s จงหา g(0.4)

y″ + 6y′ + 34y = 4u′ + 8ut = 0.4 s

g(0.4) =

3.แผนภาพบล็อกปานกลาง

พืช G(s) = 6/(s + 8) ถูกควบคุมในวงป้อนกลับลบที่ตัวตรวจจับมีอัตราขยาย H = 2 จงหาค่าคงที่เวลา τ ของวงปิด

G(s) = 6/(s + 8)H = 2

τ = s

4.แผนภาพบล็อกยาก

ลดรูปแผนภาพบล็อกที่มี G₁ = 9/(s + 1), G₂ = 8/(s + 4) การป้อนกลับลบภายใน H₁ = 2 รอบ G₂ และการป้อนกลับลบภายนอก H₂ = 1 จงหาอัตราขยาย DC T(0) ของ C(s)/R(s)

G₁ = 9/(s + 1)G₂ = 8/(s + 4)H₁ = 2H₂ = 1

T(0) =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 8/(s² + s + 4) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย โพลคือ s = σ ± jω_d จงหาส่วนจริง σ

G(s) = 8/(s² + s + 4)

σ =

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

ระบบอันดับสองที่ไม่มีศูนย์ต้องมีการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดที่พุ่งเกิน 15 % จงหาอัตราส่วนความหน่วง ζ

%OS = 15 %

ζ =

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงในแผนภาพมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด L(s) = K/(s(s + 6)(s + 10)) อัตราขยายถูกเพิ่มจนวงปิดอยู่ที่ขอบของเสถียรภาพ จงหาความถี่ ω ของการสั่นที่คงอยู่

L(s) = K/(s(s + 6)(s + 10))

ω = rad/s

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

root locus ของ L(s) = K/((s + 1)(s + 7)) แสดงไว้ จงหาอัตราขยาย K ที่จุดแยกออก s_b ซึ่งโพลวงปิดสองตัวพบกันบนแกนจริง

L(s) = K/((s + 1)(s + 7))

K =

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

แรมป์ r(t) = 3t ถูกป้อนเข้าวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มี G(s) = 20/(s(s + 5)(s + 10)) จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว e_ss

G(s) = 20/(s(s + 5)(s + 10))r(t) = 3t

e_ss =

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุม PI C(s) = K_p + K_i/s ขับโรงงาน G(s) = 2/(s + 2) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย วงปิดต้องมี ωₙ = 4 rad/s และ ζ = 0.6 จงหาอัตราขยายสัดส่วน K_p

G(s) = 2/(s + 2)ωₙ = 4 rad/sζ = 0.6

K_p =

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่ต่ำผ่าน RLที่แสดงมีR = 47 Ω, L = 10 mH ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 1.5 kHz จงหาการเลื่อนเฟส φ ของ v_out เทียบกับ v_in เป็นองศา

R = 47 ΩL = 10 mHf = 1.5 kHz

φ = °

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 68/(s(s + 4)(s + 8)) จงหาความถี่จุดตัดเฟส ω₁₈₀ ที่ ∠L(jω) = −180°

L(s) = 68/(s(s + 4)(s + 8))

ω₁₈₀ = rad/s

3สารละลาย

1.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: A = −6

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

แยกตัวประกอบส่วน

s² + 7s + 12 = (s + 3)(s + 4)

F(s) = A/(s + 3) + B/(s + 4)

กฎปิดบัง

คูณด้วย (s + 3) และตั้ง s = −3: พจน์ B หายไป

A = (6s + 12)/(s + 4) |_{s = −3} = −6/1 = −6

คำตอบ

A = −6

(B = 12 ดังนั้น f(t) = −6·e^−3t + 12·e^−4t)

2.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: g(0.4) = −0.7205

ฟังก์ชันถ่ายโอน

G(s) = Y(s)/U(s) = (4s + 8)/(s² + 6s + 34)

เศษส่วนย่อย

s² + 6s + 34 = (s + 3)² + 5²

G(s) = 4·(s + 3)/((s + 3)² + 5²) + (−4/5)·5/((s + 3)² + 5²)

ผลตอบสนองอิมพัลส์

g(t) = e^−3t·(4·cos 5t − 0.8·sin 5t)

g(0.4) = −0.7205

คำตอบ

g(0.4) = −0.7205

3.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: τ = 0.05 s

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = G/(1 + G·H) = 6/(s + 8 + 12) = 6/(s + 20)

ผลลัพธ์

τ = 1/20 = 0.05 s

คำตอบ

τ = 0.05 s

4.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: T(0) = 0.7826

วงใน

Gᵢ = G₂/(1 + G₂H₁) = 8/(s + 20)

วงนอก

T(s) = G₁Gᵢ/(1 + G₁GᵢH₂) = 72/((s + 1)(s + 20) + 72)

อัตราขยาย DC

T(0) = 72/(1·20 + 72) = 72/92 = 0.7826

คำตอบ

T(0) = 0.7826

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: σ = −0.5

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 4 → ωₙ = 2 rad/s

2ζωₙ = 1 → ζ = 1/(2·2) = 0.25

ผลลัพธ์

σ = −ζωₙ = −1/2 = −0.5

คำตอบ

σ = −0.5

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: ζ = 0.5169

อัตราส่วนการหน่วง

ζ = −ln(0.15)/√(π² + ln²(0.15)) = 1.897/√(9.87 + 3.599) = 0.5169

คำตอบ

ζ = 0.5169

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: ω = 7.746 rad/s

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

ตารางเราท์

s³ + 16s² + 60s + K = 0

s³: 1, 60

s²: 16, K

s¹: (16·60 − K)/16

s⁰: K

อัตราขยายวิกฤต

K = 16·60 = 960

สมการช่วย

ที่อัตราขยายวิกฤตแถว s¹ เป็นศูนย์ แถว s² ให้โพลบนแกนจินตภาพ

16s² + 960 = 0 → s = ±j√60

ω = 7.746 rad/s

คำตอบ

ω = 7.746 rad/s

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K = 9

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

จุดแยกออก

dK/ds = 0 สำหรับ K = −(s + 1)(s + 7) ให้ 2s + 8 = 0

s_b = −4

เงื่อนไขขนาด

K = |−4 + 1|·|−4 + 7| = 3·3 = 9

คำตอบ

K = 9

สำหรับอัตราขยายนี้วงปิดหน่วงวิกฤต (ζ = 1)

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: e_ss = 7.5

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความเร็ว

K_v = lim s·G(s) = 0.4

ค่าความคลาดเคลื่อนของแรมป์

e_ss = 3/0.4 = 7.5

คำตอบ

e_ss = 7.5

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K_p = 1.4

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

1 + C(s)G(s) = 0 คูณด้วย s(s + 2)

s² + (2 + 2K_p)s + 2K_i

พหุนามเป้าหมาย

s² + 2·0.6·4s + 4² = s² + 4.8s + 16

จับคู่สัมประสิทธิ์

2 + 2K_p = 4.8 → K_p = 1.4

คำตอบ

K_p = 1.4

พจน์อินทิกรัลทำให้วงเป็นชนิด 1 ดังนั้นตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: φ = −63.5 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = R/L = 47/0.01 = 4700 rad/s

f_c = 748 Hz → f/f_c = 1500/748 = 2.005

เฟส

φ = − atan(2.005) = −63.5°

คำตอบ

φ = −63.5°

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω₁₈₀ = 5.657 rad/s

จุดตัดเฟส

(ω/4)·(ω/8) = 1 → ω₁₈₀ = √(4·8) = 5.657 rad/s

คำตอบ

ω₁₈₀ = 5.657 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-1