วิศวกรรมระบบควบคุม 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การแปลงลาปลาซปานกลาง

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = 40/(s(s + 3)(s + 5)) ด้วยเศษส่วนย่อย และหาค่า f(0.2)

F(s) = 40/(s(s + 3)(s + 5))t = 0.2 s

f(0.2) =

2.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 6y′ + 5y = 2.5·u(t) เริ่มจากหยุดนิ่ง (y(0) = 0, y′(0) = 0) และอินพุตเป็นฟังก์ชันขั้น u(t) = 2 สำหรับ t ≥ 0 จงใช้การแปลงลาปลาซหาเอาต์พุต y(0.8)

y″ + 6y′ + 5y = 2.5·u(t)u(t) = 2y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0.8 s

y(0.8) =

3.แผนภาพบล็อกปานกลาง

พืช G(s) = 3/(s + 6) มีวงป้อนกลับลบภายใน (ย่อย) ที่มีอัตราขยาย H₁ = 4 อัตราขยายของตัวควบคุม K = 4 และวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วยภายนอกปิดระบบ จงหาอัตราขยาย DC วงปิด T(0)

G(s) = 3/(s + 6)H₁ = 4K = 4

T(0) =

4.แผนภาพบล็อกยาก

พืช G(s) = K/((s + 1)(s + 2)(s + 5)) อยู่ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย ใช้เกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์หาอัตราขยายที่มากที่สุด K_max ที่วงปิดยังเสถียร

G(s) = K/((s + 1)(s + 2)(s + 5))ป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย

K_max =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 63/(s² + 5s + 21) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได โดยใช้ t_s ≈ 4/(ζωₙ)

G(s) = 63/(s² + 5s + 21)

t_s = s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = K/(s(s + 12)) จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดพุ่งเกิน 5 %

G(s) = K/(s(s + 12))%OS = 5 %

K =

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยมี L(s) = K(s + 8)/(s(s + 2)(s + 4)) โดย K > 0 จงหาอัตราขยายสูงสุด K_max ที่วงปิดเสถียร

L(s) = K(s + 8)/(s(s + 2)(s + 4))

K_max =

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

สำหรับ L(s) = K/((s + 5)(s² + 4s + 20)) จงหามุมออกจาก θ_d ของ root locus จากโพลเชิงซ้อนในครึ่งระนาบบน วัดจากแกนจริงบวก

L(s) = K/((s + 5)(s² + 4s + 20))

θ_d = °

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

กระบวนการ G(s) = 5/(0.5s + 1) ถูกควบคุมด้วยอัตราขยายสัดส่วน K = 10 ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว e_ss สำหรับขั้น เป็นเปอร์เซ็นต์ของขนาดขั้น

G(s) = 5/(0.5s + 1)K = 10

e_ss = %

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุม PD C(s) = 20 + K_d·s ขับโรงงาน G(s) = 10/(s(s + 1)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาอัตราขยายอนุพันธ์ K_d ที่ทำให้วงปิดมีอัตราส่วนการหน่วง ζ = 0.6

G(s) = 10/(s(s + 1))K_p = 20ζ = 0.6

K_d = s

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่สูงผ่าน RCที่แสดงมีR = 4.7 kΩ, C = 47 nF ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 2.9 kHz จงหาการเลื่อนเฟส φ ของ v_out เทียบกับ v_in เป็นองศา

R = 4.7 kΩC = 47 nFf = 2.9 kHz

φ = °

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = K/(s(s + 2)(s + 6)) จงหาอัตราขยาย K ที่ให้ขอบอัตราขยาย 2 dB

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 6))GM = 2 dB

K =

3สารละลาย

1.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: f(0.2) = 0.4794

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

เศษส่วนย่อย

F(s) = A/s + B/(s + 3) + C/(s + 5)

A = 40/(3·5) = 2.667

B = 40/((−3)·2) = −6.667

C = 40/((−5)·(−2)) = 4

การแปลงผกผัน

f(t) = 2.667 − 6.667·e^−3t + 4·e^−5t

คำนวณค่า

f(0.2) = 2.667 − 6.667·e^−3·0.2 + 4·e^−5·0.2 = 0.4794

คำตอบ

f(0.2) = 0.4794

2.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.8) = 0.4429

แปลงสมการ

Y(s) = 5/(s(s + 1)(s + 5))

เศษส่วนย่อย

A = 5/(1·5) = 1

B = 5/((−1)·4) = −1.25

C = 5/((−5)·(−4)) = 0.25

สารน้ำออก

y(t) = 1 − 1.25·e^−t + 0.25·e^−5t

y(0.8) = 0.4429

คำตอบ

y(0.8) = 0.4429

3.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: T(0) = 0.4

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

วงใน

Gᵢ = G/(1 + G·H₁) = 3/(s + 6 + 3·4) = 3/(s + 18)

วงนอก

T(s) = K·Gᵢ/(1 + K·Gᵢ) = 12/(s + 18 + 12) = 12/(s + 30)

ผลลัพธ์

T(0) = 12/30 = 0.4

คำตอบ

T(0) = 0.4

4.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: K_max = 126

สมการลักษณะเฉพาะ

s³ + 8s² + 17s + 10 + K = 0

ตารางเราท์

s³ | 1 17

s² | 8 10 + K

s¹ | (8·17 − 10 − K)/8

s⁰ | 10 + K

ขีดจำกัดเสถียรภาพ

ทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก

K_max = 8·17 − 10 = 126

คำตอบ

K_max = 126

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: t_s = 1.6 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 21 → ωₙ = 4.583 rad/s

2ζωₙ = 5 → ζ = 5/(2·4.583) = 0.5455

ผลลัพธ์

ζωₙ = 2.5 → t_s ≈ 4/2.5 = 1.6 s

คำตอบ

t_s = 1.6 s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: K = 75.59

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = K/(s² + 12s + K)

อัตราส่วนความหน่วงจากค่าพุ่งเกิน

ζ = −ln(0.05)/√(π² + ln²(0.05)) = 0.6901

อัตราขยาย

ωₙ = 12/(2ζ) = 8.694 rad/s

K = ωₙ² = 75.59

คำตอบ

K = 75.59

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K_max = 24

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 2)(s + 4) + K(s + 8) = s³ + 6s² + (8 + K)s + 8K

ตารางเราท์

s³: 1, 8 + K

s²: 6, 8K

s¹: (6·(8 + K) − 8K)/6

s⁰: 8K

เงื่อนไข

48 − 2K > 0

K < 48/2 = 24

คำตอบ

K_max = 24

ถ้าศูนย์อยู่ทางขวาของ s = −6 วงจะคงเสถียรสำหรับทุก K > 0

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: θ_d = 36.87 °

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

ตำแหน่งโพล

s² + 4s + 20 = 0 → s = −2 ± j4

s = −5

มุมจากโพลอื่น

∠(−2 + j4 + 5) = atan2(4, 3) = 53.13°

∠(−2 + j4 − (−2 − j4)) = ∠(j8) = 90°

มุมออกจาก

θ_d = 180° − 53.13° − 90° = 36.87°

คำตอบ

θ_d = 36.87°

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: e_ss = 1.961 %

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ตำแหน่ง

K_p = 10·5 = 50

ค่าความคลาดเคลื่อนของขั้น

e_ss = 100/(1 + 50) = 1.961 %

คำตอบ

e_ss = 1.961 %

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K_d = 1.597 s

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 1) + 10(20 + K_ds) = s² + (1 + 10K_d)s + 200

ความถี่ธรรมชาติ

ωₙ = √200 = 14.14 rad/s

อัตราขยายอนุพันธ์

1 + 10K_d = 2·0.6·14.14 = 16.97

K_d = 1.597 s

คำตอบ

K_d = 1.597 s

พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วงโดยไม่เปลี่ยน ωₙ

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: φ = 13.95 °

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = 1/(RC) = 1/(4700·4.7 × 10⁻⁸) = 4527 rad/s

f_c = 720.5 Hz → f/f_c = 2900/720.5 = 4.025

เฟส

φ = 90° − atan(4.025) = 13.95°

คำตอบ

φ = 13.95°

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: K = 76.26

จุดตัดเฟส

(ω/2)·(ω/6) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·6) = 3.464 rad/s

ขนาดที่จุดตัดเฟส

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 36)) = K/(2·6·(2 + 6)) = K/96

อัตราขยายที่ต้องการ

96/K = 10^2/20 = 1.259

K = 96/1.259 = 76.26

คำตอบ

K = 76.26

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-1