วิศวกรรมระบบควบคุม 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การแปลงลาปลาซปานกลาง

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = 22/(s² + 4s + 8) ด้วยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ และหาค่า f(0.8)

F(s) = 22/(s² + 4s + 8)t = 0.8 s

f(0.8) =

2.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 3y′ + 2y = 12·u(t) เริ่มจากหยุดนิ่ง (y(0) = 0, y′(0) = 0) และอินพุตเป็นฟังก์ชันขั้น u(t) = 1 สำหรับ t ≥ 0 จงใช้การแปลงลาปลาซหาเอาต์พุต y(1.2)

y″ + 3y′ + 2y = 12·u(t)u(t) = 1y(0) = 0, y′(0) = 0t = 1.2 s

y(1.2) =

3.แผนภาพบล็อกปานกลาง

พืช G(s) = 29/(s + 5) ถูกควบคุมในวงป้อนกลับลบที่ตัวตรวจจับมีอัตราขยาย H = 2 ป้อนฟังก์ชันขั้นขนาด 5 ที่ R จงหาเอาต์พุตสถานะคงตัว c_ss

G(s) = 29/(s + 5)H = 2R = 5

c_ss =

4.แผนภาพบล็อกยาก

พืช G(s) = K/(s(s + 1)(s + 3)) อยู่ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย ใช้เกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์หาอัตราขยายที่มากที่สุด K_max ที่วงปิดยังเสถียร

G(s) = K/(s(s + 1)(s + 3))ป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย

K_max =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 34/(s² + 3s + 34) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาเวลาถึงจุดสูงสุด t_p ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

G(s) = 34/(s² + 3s + 34)

t_p = s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

มวล m = 2 kg แขวนอยู่กับสปริง k = 800 N/m และตัวหน่วงแบบหนืด c = 32 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F) เริ่มจากหยุดนิ่งในสมดุล แล้วออกแรงคงที่ F = 5 N กะทันหัน จงหาการกระจัดสูงสุด x_max เป็น mm

m = 2 kgk = 800 N/mc = 32 N·s/mF = 5 N

x_max = mm

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยมี L(s) = K/((s + 1)(s + 2)(s + 4)) โดย K > 0 จงหาอัตราขยายสูงสุด K_max ที่วงปิดเสถียร

L(s) = K/((s + 1)(s + 2)(s + 4))

K_max =

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

root locus ของ L(s) = K/((s + 6)(s + 10)) แสดงไว้ จงหาอัตราขยาย K ที่จุดแยกออก s_b ซึ่งโพลวงปิดสองตัวพบกันบนแกนจริง

L(s) = K/((s + 6)(s + 10))

K =

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

แรมป์ r(t) = 3t ถูกป้อนเข้าวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มี G(s) = 5/(s(s + 2)(s + 10)) จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว e_ss

G(s) = 5/(s(s + 2)(s + 10))r(t) = 3t

e_ss =

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุม PD C(s) = 2 + K_d·s ขับโรงงาน G(s) = 2/(s(s + 1)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาอัตราขยายอนุพันธ์ K_d ที่ทำให้วงปิดมีอัตราส่วนการหน่วง ζ = 0.5

G(s) = 2/(s(s + 1))K_p = 2ζ = 0.5

K_d = s

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ในตัวกรองแถบผ่าน RLC อนุกรมที่แสดง เอาต์พุตอยู่คร่อม R = 5 Ω โดย L = 5 mH และ C = 0.47 µF จงหาตัวประกอบคุณภาพ Q

R = 5 ΩL = 5 mHC = 0.47 µF

Q =

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = 190/(s(s + 4)(s + 6)) จงหาความถี่จุดตัดเฟส ω₁₈₀ ที่ ∠L(jω) = −180°

L(s) = 190/(s(s + 4)(s + 6))

ω₁₈₀ = rad/s

3สารละลาย

1.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: f(0.8) = 2.22

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 4 = (s + 2)² + 2²

จับคู่เศษ

F(s) = (22/2)·2/((s + 2)² + 2²)

การแปลงผกผัน

f(t) = e^−2t·(11·sin 2t)

f(0.8) = e^−2·0.8·(11·sin(2·0.8)) = 2.22

คำตอบ

f(0.8) = 2.22

2.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(1.2) = 2.93

แปลงสมการ

Y(s) = 12/(s(s + 1)(s + 2))

เศษส่วนย่อย

A = 12/(1·2) = 6

B = 12/((−1)·1) = −12

C = 12/((−2)·(−1)) = 6

สารน้ำออก

y(t) = 6 − 12·e^−t + 6·e^−2t

y(1.2) = 2.93

คำตอบ

y(1.2) = 2.93

3.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: c_ss = 2.302

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = G/(1 + G·H) = 29/(s + 5 + 58) = 29/(s + 63)

ผลลัพธ์

c_ss = R·T(0) = 5·29/63 = 2.302

คำตอบ

c_ss = 2.302

4.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: K_max = 12

สมการลักษณะเฉพาะ

s³ + 4s² + 3s + K = 0

ตารางเราท์

s³ | 1 3

s² | 4 K

s¹ | (4·3 − K)/4

s⁰ | K

ขีดจำกัดเสถียรภาพ

ทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก

K_max = 4·3 = 12

คำตอบ

K_max = 12

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: t_p = 0.5575 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 34 → ωₙ = 5.831 rad/s

2ζωₙ = 3 → ζ = 3/(2·5.831) = 0.2572

ผลลัพธ์

ω_d = 5.831·√(1 − 0.2572²) = 5.635 rad/s → t_p = π/ω_d = 0.5575 s

คำตอบ

t_p = 0.5575 s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: x_max = 7.836 mm

ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนความหน่วง

ωₙ = √(k/m) = √(800/2) = 20 rad/s

ζ = c/(2√(km)) = 32/(2·√(800·2)) = 0.4

ผลลัพธ์

x_st = F/k = 5/800 m = 6.25 mm

%OS = 25.38 %

x_max = 6.25·(1 + 0.2538) = 7.836 mm

คำตอบ

x_max = 7.836 mm

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K_max = 90

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s³ + 7s² + 14s + 8 + K = 0

ตารางเราท์

s³: 1, 14

s²: 7, 8 + K

s¹: (7·14 − 8 − K)/7

s⁰: 8 + K

เงื่อนไข

ช่อง s¹ ต้องคงเป็นบวก

K < 7·14 − 8 = 90

คำตอบ

K_max = 90

ที่ขีดจำกัด วงสั่นที่ ω = √14 = 3.742 rad/s

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K = 4

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

จุดแยกออก

dK/ds = 0 สำหรับ K = −(s + 6)(s + 10) ให้ 2s + 16 = 0

s_b = −8

เงื่อนไขขนาด

K = |−8 + 6|·|−8 + 10| = 2·2 = 4

คำตอบ

K = 4

สำหรับอัตราขยายนี้วงปิดหน่วงวิกฤต (ζ = 1)

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: e_ss = 12

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความเร็ว

K_v = lim s·G(s) = 0.25

ค่าความคลาดเคลื่อนของแรมป์

e_ss = 3/0.25 = 12

คำตอบ

e_ss = 12

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K_d = 0.5 s

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 1) + 2(2 + K_ds) = s² + (1 + 2K_d)s + 4

ความถี่ธรรมชาติ

ωₙ = √4 = 2 rad/s

อัตราขยายอนุพันธ์

1 + 2K_d = 2·0.5·2 = 2

K_d = 0.5 s

คำตอบ

K_d = 0.5 s

พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วงโดยไม่เปลี่ยน ωₙ

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: Q = 20.63

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่เรโซแนนซ์

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·4.7 × 10⁻⁷) = 20628 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 3283 Hz

ตัวประกอบคุณภาพ

BW = R/L = 5/0.005 = 1000 rad/s = 159.2 Hz

Q = ω₀/BW = 20628/1000 = 20.63

คำตอบ

Q = 20.63

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: ω₁₈₀ = 4.899 rad/s

จุดตัดเฟส

(ω/4)·(ω/6) = 1 → ω₁₈₀ = √(4·6) = 4.899 rad/s

คำตอบ

ω₁₈₀ = 4.899 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-1