วิศวกรรมระบบควบคุม 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การแปลงลาปลาซปานกลาง

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = (5s + 39)/(s² + 2s + 2) ด้วยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ และหาค่า f(1.2)

F(s) = (5s + 39)/(s² + 2s + 2)t = 1.2 s

f(1.2) =

2.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 6y′ + 8y = 48·u(t) เริ่มจากหยุดนิ่ง (y(0) = 0, y′(0) = 0) และอินพุตเป็นฟังก์ชันขั้น u(t) = 2 สำหรับ t ≥ 0 จงใช้การแปลงลาปลาซหาเอาต์พุต y(0.1)

y″ + 6y′ + 8y = 48·u(t)u(t) = 2y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0.1 s

y(0.1) =

3.แผนภาพบล็อกปานกลาง

พืช G(s) = 7/(s + 7) มีวงป้อนกลับลบภายใน (ย่อย) ที่มีอัตราขยาย H₁ = 3 อัตราขยายของตัวควบคุม K = 4 และวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วยภายนอกปิดระบบ จงหาอัตราขยาย DC วงปิด T(0)

G(s) = 7/(s + 7)H₁ = 3K = 4

T(0) =

4.แผนภาพบล็อกยาก

ลดรูปแผนภาพบล็อกที่มี G₁ = 11/(s + 4), G₂ = 10/(s + 8) การป้อนกลับลบภายใน H₁ = 1 รอบ G₂ และการป้อนกลับลบภายนอก H₂ = 0.25 จงหาอัตราขยาย DC T(0) ของ C(s)/R(s)

G₁ = 11/(s + 4)G₂ = 10/(s + 8)H₁ = 1H₂ = 0.25

T(0) =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 192/(s² + 6s + 64) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได โดยใช้ t_s ≈ 4/(ζωₙ)

G(s) = 192/(s² + 6s + 64)

t_s = s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = K/(s(s + 10)) จงหาอัตราขยาย K ที่ทำให้การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดพุ่งเกิน 20 %

G(s) = K/(s(s + 10))%OS = 20 %

K =

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยมี L(s) = K(s + 12)/(s(s + 3)(s + 4)) โดย K > 0 จงหาอัตราขยายสูงสุด K_max ที่วงปิดเสถียร

L(s) = K(s + 12)/(s(s + 3)(s + 4))

K_max =

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

สำหรับ L(s) = K/((s + 3)(s² + 4s + 5)) จงหามุมออกจาก θ_d ของ root locus จากโพลเชิงซ้อนในครึ่งระนาบบน วัดจากแกนจริงบวก

L(s) = K/((s + 3)(s² + 4s + 5))

θ_d = °

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

อินพุตพาราโบลา r(t) = 10·t²/2 ถูกป้อนเข้าวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มี G(s) = 20(s + 4)/(s²(s + 1)) จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว e_ss

G(s) = 20(s + 4)/(s²(s + 1))r(t) = 10·t²/2

e_ss =

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุมสัดส่วน K = 10 ขับโรงงาน G(s) = 2/(s(s + 6)) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได โดยใช้ t_s ≈ 4/(ζωₙ)

G(s) = 2/(s(s + 6))K = 10

t_s = s

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

ตัวกรองความถี่ต่ำผ่าน RLที่แสดงมีR = 47 Ω, L = 4.7 mH ป้อนอินพุตรูปซายน์ของ 16 kHz จงหาอัตราขยาย |H| = |v_out/v_in| ใน dB

R = 47 ΩL = 4.7 mHf = 16 kHz

|H| = dB

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = K/(s(s + 8)(s + 9)) จงหาอัตราขยาย K ที่ให้ขอบอัตราขยาย 3 dB

L(s) = K/(s(s + 8)(s + 9))GM = 3 dB

K =

3สารละลาย

1.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: f(1.2) = 10.09

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

s² + 2s + 2 = (s + 1)² + 1 = (s + 1)² + 1²

จับคู่เศษ

F(s) = 5·(s + 1)/((s + 1)² + 1²) + (34/1)·1/((s + 1)² + 1²)

การแปลงผกผัน

f(t) = e^−t·(5·cos 1t + 34·sin 1t)

f(1.2) = e^−1.2·(5·cos(1·1.2) + 34·sin(1·1.2)) = 10.09

คำตอบ

f(1.2) = 10.09

2.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.1) = 0.3943

แปลงสมการ

Y(s) = 96/(s(s + 2)(s + 4))

เศษส่วนย่อย

A = 96/(2·4) = 12

B = 96/((−2)·2) = −24

C = 96/((−4)·(−2)) = 12

สารน้ำออก

y(t) = 12 − 24·e^−2t + 12·e^−4t

y(0.1) = 0.3943

คำตอบ

y(0.1) = 0.3943

3.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: T(0) = 0.5

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

วงใน

Gᵢ = G/(1 + G·H₁) = 7/(s + 7 + 7·3) = 7/(s + 28)

วงนอก

T(s) = K·Gᵢ/(1 + K·Gᵢ) = 28/(s + 28 + 28) = 28/(s + 56)

ผลลัพธ์

T(0) = 28/56 = 0.5

คำตอบ

T(0) = 0.5

4.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: T(0) = 1.106

วงใน

Gᵢ = G₂/(1 + G₂H₁) = 10/(s + 18)

วงนอก

T(s) = G₁Gᵢ/(1 + G₁GᵢH₂) = 110/((s + 4)(s + 18) + 27.5)

อัตราขยาย DC

T(0) = 110/(4·18 + 27.5) = 110/99.5 = 1.106

คำตอบ

T(0) = 1.106

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: t_s = 1.333 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 64 → ωₙ = 8 rad/s

2ζωₙ = 6 → ζ = 6/(2·8) = 0.375

ผลลัพธ์

ζωₙ = 3 → t_s ≈ 4/3 = 1.333 s

คำตอบ

t_s = 1.333 s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: K = 120.3

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = K/(s² + 10s + K)

อัตราส่วนความหน่วงจากค่าพุ่งเกิน

ζ = −ln(0.2)/√(π² + ln²(0.2)) = 0.4559

อัตราขยาย

ωₙ = 10/(2ζ) = 10.97 rad/s

K = ωₙ² = 120.3

คำตอบ

K = 120.3

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K_max = 16.8

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 3)(s + 4) + K(s + 12) = s³ + 7s² + (12 + K)s + 12K

ตารางเราท์

s³: 1, 12 + K

s²: 7, 12K

s¹: (7·(12 + K) − 12K)/7

s⁰: 12K

เงื่อนไข

84 − 5K > 0

K < 84/5 = 16.8

คำตอบ

K_max = 16.8

ถ้าศูนย์อยู่ทางขวาของ s = −7 วงจะคงเสถียรสำหรับทุก K > 0

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: θ_d = 45 °

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

ตำแหน่งโพล

s² + 4s + 5 = 0 → s = −2 ± j1

s = −3

มุมจากโพลอื่น

∠(−2 + j1 + 3) = atan2(1, 1) = 45°

∠(−2 + j1 − (−2 − j1)) = ∠(j2) = 90°

มุมออกจาก

θ_d = 180° − 45° − 90° = 45°

คำตอบ

θ_d = 45°

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: e_ss = 0.125

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ความเร่ง

K_a = 20·4/1 = 80

ค่าความคลาดเคลื่อนของพาราโบลา

e_ss = 10/80 = 0.125

คำตอบ

e_ss = 0.125

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: t_s = 1.333 s

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s(s + 6) + 10·2 = s² + 6s + 20

ωₙ และ ζ

ωₙ = √20 = 4.472 rad/s

ζ = 6/(2·4.472) = 0.6708

เวลาเข้าสู่ค่าคงตัว

ζωₙ = 6/2 = 3

t_s ≈ 4/3 = 1.333 s

คำตอบ

t_s = 1.333 s

เวลาเข้าที่ไม่ขึ้นกับ K ที่นี่: การเพิ่ม K ทำให้การตอบสนองสั่นเร็วขึ้นเท่านั้น

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: |H| = −20.09 dB

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

ความถี่มุม

ω_c = R/L = 47/0.0047 = 10000 rad/s

f_c = 1592 Hz → f/f_c = 16000/1592 = 10.05

อัตราขยาย

|H| = 1/√(1 + 10.05²) = 0.09898

20·log₁₀(0.09898) = −20.09 dB

คำตอบ

|H| = −20.09 dB

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: K = 866.5

จุดตัดเฟส

(ω/8)·(ω/9) = 1 → ω₁₈₀ = √(8·9) = 8.485 rad/s

ขนาดที่จุดตัดเฟส

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 64)·√(ω² + 81)) = K/(8·9·(8 + 9)) = K/1224

อัตราขยายที่ต้องการ

1224/K = 10^3/20 = 1.413

K = 1224/1.413 = 866.5

คำตอบ

K = 866.5

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-1