วิศวกรรมระบบควบคุม 1: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 12 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

เสถียรภาพ: รากทั้งหมดของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งระนาบซ้าย
ตารางราอ์ท ค่าในแถว s¹ ของระบบอันดับสาม: b₁ = (a₂a₁ − a₃a₀)/a₂
รากในครึ่งระนาบขวา: จำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก
ระบบอันดับสาม s³ + a₂s² + a₁s + a₀: เสถียรเมื่อ a ทุกตัว > 0 และ a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b)): K_max = ab(a + b), ω = √(ab)
สมการลักษณะเฉพาะ: 1 + K·G(s) = 0
เส้นกำกับ: σ_a = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
จุดแยกออกและจุดแยกเข้า: dK/ds = 0
เงื่อนไขขนาด: K = 1/|G(s)|
มุมออกจาก: θ_d = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

วิธีการ

เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิด: ตัวส่วนของ 1 + K·G(s) = 0 ที่คูณออกแล้ว
ใส่สัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตารางราอ์ท แล้วสร้างแถวที่เหลือ
นับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในคอลัมน์แรก: แต่ละครั้งคือโพลหนึ่งตัวในครึ่งระนาบขวา เมื่อมี K อยู่ในตาราง ให้กำหนดว่าทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก
สำหรับรูตโลกัส ให้ทำเครื่องหมายโพลและศูนย์ ช่วงบนแกนจริง เส้นกำกับจากเซนทรอยด์ และจุดแยกที่ dK/ds = 0 ใช้ K = 1/|G(s)| สำหรับอัตราขยายที่จุดหนึ่ง

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

ชนิดของระบบ: จำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0
ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
ขั้น A: e_ss = A/(1 + K_p)
แรมป์ A·t: e_ss = A/K_v
พาราโบลา A·t²/2: e_ss = A/K_a
ตัวควบคุม PID: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
เป้าหมายอันดับสอง: s² + 2ζω_ns + ω_n²
การเกินเลยและเวลา: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

วิธีการ

นับโพลของวงเปิด C(s)·G(s) ที่ s = 0: นั่นคือชนิดของระบบ
คำนวณค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนที่ตรงกับอินพุต: K_p สำหรับขั้น K_v สำหรับแรมป์ K_a สำหรับพาราโบลา
ใช้ e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v หรือ A/K_a หรือแก้สมการหาอัตราขยายที่ต้องการ
สำหรับข้อกำหนดเรื่องการหน่วงหรือความเร็ว ให้เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะของวงปิดแล้วเทียบกับ s² + 2ζω_n·s + ω_n²

2โจทย์ฝึก

1.การแปลงลาปลาซปานกลาง

จงหา f(t) สำหรับ F(s) = (4s + 30)/(s² + 6s + 18) ด้วยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ และหาค่า f(0.5)

F(s) = (4s + 30)/(s² + 6s + 18)t = 0.5 s

f(0.5) =

2.การแปลงลาปลาซยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + 5y′ + 4y = 4·u(t) โดย y(0) = 3 และ y′(0) = 0 ที่ t = 0 มีอินพุตฟังก์ชันขั้น u(t) = 4 ป้อนเข้า จงใช้การแปลงลาปลาซหา y(0.25)

y″ + 5y′ + 4y = 4·u(t)y(0) = 3y′(0) = 0u(t) = 4t = 0.25 s

y(0.25) =

3.แผนภาพบล็อกปานกลาง

วงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วยมี G(s) = 3(s + 4)/((s + 5)(s + 9)) ป้อนฟังก์ชันขั้นขนาด 5 ที่สัญญาณอ้างอิง จงหาค่าผิดพลาดสถานะคงตัว e_ss

G(s) = 3(s + 4)/((s + 5)(s + 9))R = 5

e_ss =

4.แผนภาพบล็อกยาก

พืช G(s) = K/(s(s + 1)(s + 10)) อยู่ในวงป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย ใช้เกณฑ์เราท์–เฮอร์วิตซ์หาอัตราขยายที่มากที่สุด K_max ที่วงปิดยังเสถียร

G(s) = K/(s(s + 1)(s + 10))ป้อนกลับลบหนึ่งหน่วย

K_max =

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดปานกลาง

ระบบหนึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอน G(s) = 81/(s² + 10s + 81) และรับอินพุตขั้นบันไดหนึ่งหน่วย จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได โดยใช้ t_s ≈ 4/(ζωₙ)

G(s) = 81/(s² + 10s + 81)

t_s = s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดยาก

ลูปป้อนกลับลบแบบหนึ่งหน่วยมี G(s) = 225/(s(s + 16)) จงหาเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ของการตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดของลูปปิด โดยใช้ t_s ≈ 4/(ζωₙ)

G(s) = 225/(s(s + 16))

t_s = s

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสปานกลาง

วงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยมี L(s) = K/((s + 3)(s + 5)(s + 6)) โดย K > 0 จงหาอัตราขยายสูงสุด K_max ที่วงปิดเสถียร

L(s) = K/((s + 3)(s + 5)(s + 6))

K_max =

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัสยาก

root locus ของ L(s) = K(s + 8)/(s(s + 7)) ออกจากแกนจริงระหว่าง s = 0 และ s = −7 วนเป็นวงกลมและรวมแกนจริงอีกครั้งทางซ้ายของศูนย์ จงหาจุดรวมเข้า s_i

L(s) = K(s + 8)/(s(s + 7))

s_i =

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDปานกลาง

กระบวนการ G(s) = 0.5/(10s + 1) ถูกควบคุมด้วยอัตราขยายสัดส่วน K = 4 ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย จงหาค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว e_ss สำหรับขั้น เป็นเปอร์เซ็นต์ของขนาดขั้น

G(s) = 0.5/(10s + 1)K = 4

e_ss = %

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PIDยาก

ตัวควบคุม PI C(s) = K_p + K_i/s ขับโรงงาน G(s) = 1/(s + 2) ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วย วงปิดต้องมี ωₙ = 2 rad/s และ ζ = 1 จงหาอัตราขยายสัดส่วน K_p

G(s) = 1/(s + 2)ωₙ = 2 rad/sζ = 1

K_p =

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพปานกลาง

จงหาขนาดที่แน่นอน |G(jω)| ของ G(s) = 1792/((s + 14)(s + 16)) ที่ ω = 4 rad/s ใน dB

G(s) = 1792/((s + 14)(s + 16))ω = 4 rad/s

|G(jω)| = dB

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพยาก

วงรอบป้อนกลับหนึ่งหน่วยมีฟังก์ชันถ่ายโอนวงรอบเปิด L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) จงหาอัตราขยาย K ที่ให้ขอบอัตราขยาย 6 dB

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4))GM = 6 dB

K =

3สารละลาย

1.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: f(0.5) = 1.399

การแปลงลาปลาซ: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt เปลี่ยนอนุพันธ์เป็นการคูณด้วย s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0) คู่มาตรฐาน: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²) และการเลื่อน s → s + σ คูณฟังก์ชันเวลาด้วย e^−σt การแปลงผกผัน F(s) ที่เป็นเศษส่วนตรรกยะ ให้แยกเป็นเศษส่วนย่อย: ส่วนตกค้างของโพลเดี่ยว p คือ A = [(s − p)·F(s)] ที่ s = p ทฤษฎีบทค่าสุดท้าย: f(∞) = lim_s→0 s·F(s) ใช้ได้เฉพาะเมื่อโพลทั้งหมดของ s·F(s) อยู่ในระนาบครึ่งซ้าย ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)

ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

s² + 6s + 18 = (s + 3)² + 9 = (s + 3)² + 3²

จับคู่เศษ

F(s) = 4·(s + 3)/((s + 3)² + 3²) + (18/3)·3/((s + 3)² + 3²)

การแปลงผกผัน

f(t) = e^−3t·(4·cos 3t + 6·sin 3t)

f(0.5) = e^−3·0.5·(4·cos(3·0.5) + 6·sin(3·0.5)) = 1.399

คำตอบ

f(0.5) = 1.399

2.การแปลงลาปลาซ

คำตอบ: y(0.25) = 3.084

แปลงสมการ

(s² + 5s + 4)·Y(s) = 3s + 15 + 16/s

Y(s) = (3s² + 15s + 16)/(s(s + 1)(s + 4))

เศษส่วนย่อย

A = 16/(1·4) = 4

B = 4/((−1)·3) = −1.333

C = 4/((−4)·(−3)) = 0.3333

ผลลัพธ์

y(t) = 4 − 1.333·e^−t + 0.3333·e^−4t

y(0.25) = 3.084

คำตอบ

y(0.25) = 3.084

ตรวจสอบ: y(0) = A + B + C = 3

3.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: e_ss = 3.947

พีชคณิตแผนภาพบล็อก: บล็อกอนุกรมคูณกัน (G₁·G₂) บล็อกขนานบวกกัน (G₁ + G₂) และวงที่มีเส้นทางไปหน้า G และเส้นทางป้อนกลับ H ลดรูปเป็น T = G/(1 + G·H) สำหรับป้อนกลับลบ และ G/(1 − G·H) สำหรับป้อนกลับบวก ลดรูปวงในก่อน แล้วทำออกไปด้านนอก โพลวงปิดคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ 1 + G(s)H(s) = 0 สำหรับวงที่เสถียร อินพุตขั้นขนาด A ให้เอาต์พุตสถานะคงตัว A·T(0) เมื่อป้อนกลับหนึ่งหน่วย ค่าผิดพลาดสถานะคงตัวต่อฟังก์ชันขั้นคือ A/(1 + K_p) โดย K_p = G(0)

ค่าคงที่ความผิดพลาดตำแหน่ง

Kₚ = G(0) = 3·4/(5·9) = 0.2667

ค่าผิดพลาดสถานะคงตัว

e_ss = A/(1 + Kₚ) = 5/(1 + 0.2667) = 3.947

คำตอบ

e_ss = 3.947

4.แผนภาพบล็อก

คำตอบ: K_max = 110

สมการลักษณะเฉพาะ

s³ + 11s² + 10s + K = 0

ตารางเราท์

s³ | 1 10

s² | 11 K

s¹ | (11·10 − K)/11

s⁰ | K

ขีดจำกัดเสถียรภาพ

ทุกค่าในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก

K_max = 11·10 = 110

คำตอบ

K_max = 110

5.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: t_s = 0.8 s

การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได: ระบบอันดับหนึ่ง G(s) = K/(τs + 1) ตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดขนาด U ด้วย y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) โดยจะถึง 63.2 % ของค่าสุดท้าย K·U เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา τ และถึง 98 % ที่ 4τ ระบบอันดับสอง G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) มีโพล s = −ζωₙ ± jω_d โดย ω_d = ωₙ√(1 − ζ²) เมื่อ 0 < ζ < 1 การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันไดจะพุ่งเกิน: ค่าพุ่งเกินร้อยละ %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} เวลาถึงจุดสูงสุด t_p = π/ω_d และเวลาเข้าสู่ค่าคงตัวที่เกณฑ์ 2 % t_s ≈ 4/(ζωₙ) ให้เทียบตัวส่วนกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ² เพื่ออ่านค่า ωₙ และ ζ สำหรับระบบมวล–สปริง–ตัวหน่วง ωₙ = √(k/m) และ ζ = c/(2√(km)) สำหรับวงจร RLC อนุกรม ωₙ = 1/√(LC) และ ζ = (R/2)·√(C/L)

เทียบกับรูปมาตรฐาน

ตัวส่วนต้องตรงกับ s² + 2ζωₙs + ωₙ²

ωₙ² = 81 → ωₙ = 9 rad/s

2ζωₙ = 10 → ζ = 10/(2·9) = 0.5556

ผลลัพธ์

ζωₙ = 5 → t_s ≈ 4/5 = 0.8 s

คำตอบ

t_s = 0.8 s

6.การตอบสนองต่อสัญญาณขั้นบันได

คำตอบ: t_s = 0.5 s

ฟังก์ชันถ่ายโอนวงปิด

T(s) = 225/(s² + 16s + 225): ωₙ = 15 rad/s, ζ = 0.5333

เวลาเข้าสู่ค่าคงตัว

ζωₙ = 16/2 = 8

t_s ≈ 4/(ζωₙ) = 0.5 s

คำตอบ

t_s = 0.5 s

สำหรับลูปนี้ ζωₙ = a/2 ไม่ว่า K จะเป็นเท่าใด การเพิ่ม K ทำให้พุ่งเกินมากขึ้นแต่ไม่ทำให้เวลาเข้าสู่ค่าคงตัวสั้นลง

7.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: K_max = 792

เกณฑ์ Routh–Hurwitz: ระบบเชิงเส้นเสถียรเมื่อรากทุกตัวของพหุนามลักษณะเฉพาะอยู่ในครึ่งซ้ายของระนาบ s เขียนสัมประสิทธิ์สลับกันลงในสองแถวแรกของตาราง Routh แต่ละช่องของแถวใหม่มาจากสองแถวด้านบน สำหรับกำลังสามเชิงลูกบาศก์ a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ ช่อง s¹ คือ b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ จำนวนการเปลี่ยนเครื่องหมายในคอลัมน์แรกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา เมื่อมีอัตราขยาย K ในสัมประสิทธิ์ ทุกช่องในคอลัมน์แรกต้องเป็นบวก: อัตราขยายที่ทำให้ช่อง s¹ เป็นศูนย์คือขีดจำกัดเสถียรภาพ และแถว s² ให้ความถี่ของการสั่นที่คงอยู่

พหุนามลักษณะเฉพาะ

s³ + 14s² + 63s + 90 + K = 0

ตารางเราท์

s³: 1, 63

s²: 14, 90 + K

s¹: (14·63 − 90 − K)/14

s⁰: 90 + K

เงื่อนไข

ช่อง s¹ ต้องคงเป็นบวก

K < 14·63 − 90 = 792

คำตอบ

K_max = 792

ที่ขีดจำกัด วงสั่นที่ ω = √63 = 7.937 rad/s

8.เสถียรภาพ: เกณฑ์ราอ์ท–เฮอร์วิตซ์และรูตโลกัส

คำตอบ: s_i = −10.83

root locus: เมื่ออัตราขยาย K ไปจาก 0 ถึง ∞ โพลวงปิด ซึ่งเป็นรากของ 1 + K·G(s) = 0 เคลื่อนจากโพลวงเปิดไปยังศูนย์วงเปิดหรือไปยังอนันต์ จุดบนแกนจริงอยู่ในโลคัสเมื่อจำนวนโพลจริงและศูนย์ทางขวาของมันเป็นเลขคี่ n − m กิ่งที่ไปยังอนันต์ตามเส้นกำกับที่มุม (2q + 1)·180°/(n − m) ซึ่งเริ่มจากเซนทรอยด์ σₐ = (Σ โพล − Σ ศูนย์)/(n − m) กิ่งออกจากหรือเข้าร่วมแกนจริงที่ dK/ds = 0 เงื่อนไขมุม ∠G(s) = 180° กำหนดรูปร่าง และเงื่อนไขขนาด K = 1/|G(s)| ให้อัตราขยาย ณ จุดใดก็ได้ของโลคัส

อัตราขยายตามแกนจริง

K(s) = −(s² + 7s)/(s + 8)

จุดนิ่ง

หาอนุพันธ์ด้วยกฎผลหารและตั้งตัวเศษเป็นศูนย์

(2s + 7)(s + 8) − (s² + 7s) = s² + 16s + 56 = 0

s = −8 ± √8 = −5.172, −10.83

จุดรวมเข้า

s_i = −10.83

คำตอบ

s_i = −10.83

ระหว่างจุดแยกทั้งสอง โลคัสเป็นวงกลมที่มีศูนย์กลางที่ศูนย์ รัศมี √8 = 2.828

9.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: e_ss = 33.33 %

ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว: ในวงฟีดแบ็กหนึ่งหน่วยที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนวงเปิด G(s) ค่าความคลาดเคลื่อนคือ E(s) = R(s)/(1 + G(s)) และโดยทฤษฎีบทค่าสุดท้าย e_ss = lim_s→0 s·E(s) ชนิดของระบบคือจำนวนโพลของ G(s) ที่ s = 0 ค่าคงที่ความคลาดเคลื่อนคือ K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) และ K_a = lim s²·G(s) ทั้งหมดสำหรับ s → 0 ขั้นขนาด A ให้ e_ss = A/(1 + K_p) แรมป์ A·t ให้ A/K_v และพาราโบลา A·t²/2 ให้ A/K_a วงชนิด 0 ตามขั้นด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด วงชนิด 1 ตามขั้นได้อย่างแม่นยำ และตามแรมป์ด้วยค่าความคลาดเคลื่อนจำกัด

ค่าคงที่ตำแหน่ง

K_p = 4·0.5 = 2

ค่าความคลาดเคลื่อนของขั้น

e_ss = 100/(1 + 2) = 33.33 %

คำตอบ

e_ss = 33.33 %

10.ค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัวและการควบคุม PID

คำตอบ: K_p = 2

การควบคุม P, PI และ PID: ตัวควบคุม C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s กระทำต่อค่าความคลาดเคลื่อน อัตราขยายสัดส่วนทำให้วงเร็วขึ้นและลดค่าความคลาดเคลื่อนของโรงงานชนิด 0 แต่ไม่เคยกำจัดมัน พจน์อินทิกรัลเพิ่มโพลที่ s = 0: ชนิดของระบบเพิ่มขึ้นหนึ่ง และตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อน พจน์อนุพันธ์เพิ่มการหน่วง ในการเลือกอัตราขยาย เขียนพหุนามลักษณะเฉพาะวงปิดและเปรียบเทียบกับ s² + 2ζω_ns + ω_n² จากนั้น %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d โดย ω_d = ω_n√(1 − ζ²) และ t_s ≈ 4/(ζω_n)

พหุนามลักษณะเฉพาะ

1 + C(s)G(s) = 0 คูณด้วย s(s + 2)

s² + (2 + 1K_p)s + 1K_i

พหุนามเป้าหมาย

s² + 2·1·2s + 2² = s² + 4s + 4

จับคู่สัมประสิทธิ์

2 + 1K_p = 4 → K_p = 2

คำตอบ

K_p = 2

พจน์อินทิกรัลทำให้วงเป็นชนิด 1 ดังนั้นตามขั้นได้โดยไม่มีค่าความคลาดเคลื่อนสถานะคงตัว

11.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: |G(jω)| = 17.46 dB

การตอบสนองเชิงความถี่ (frequency response): แทน s = jω ในฟังก์ชันถ่ายโอน ขนาดเป็นเดซิเบลคือ 20·log₁₀|H(jω)| และเฟสคือผลรวมของมุมของตัวประกอบเศษลบด้วยมุมของตัวประกอบส่วน ตัวกรอง RC หรือ RL อันดับหนึ่งมีความถี่มุม (−3 dB) ที่ ω_c = 1/(RC) หรือ R/L และ f_c = ω_c/(2π) ตัวกรองความถี่ต่ำผ่านให้ |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) และ φ = −atan(ω/ω_c) ในแผนภาพโบดแบบเส้นกำกับ (เส้นตรง) โพล (pole) แต่ละตัวหักขนาดลง 20 dB/decade ที่ความถี่มุมของมัน ศูนย์ (zero) แต่ละตัวหักขึ้น 20 dB/decade และตัวอินทิเกรต 1/s ให้ −20 dB/decade ทุกความถี่ จุดตัดอัตราขยาย ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB) ขอบเฟส PM = 180° + ∠L(jω_c) จุดตัดเฟส ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180° ขอบอัตราขยาย GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB วงรอบปิดเสถียรเมื่อขอบทั้งสองเป็นบวก

คูณขนาด

|G(j4)| = 1792/(√(4² + 14²)·√(4² + 16²)) = 1792/(14.56·16.49) = 7.463

ผลลัพธ์

20·log₁₀(7.463) = 17.46 dB

คำตอบ

|G(jω)| = 17.46 dB

12.แผนภาพโบดและขอบเสถียรภาพ

คำตอบ: K = 24.06

จุดตัดเฟส

(ω/2)·(ω/4) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·4) = 2.828 rad/s

ขนาดที่จุดตัดเฟส

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 16)) = K/(2·4·(2 + 4)) = K/48

อัตราขยายที่ต้องการ

48/K = 10^6/20 = 1.995

K = 48/1.995 = 24.06

คำตอบ

K = 24.06

ExamProblems · examproblems.com/courses/control-engineering-1