โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมใดหาเส้นทางสั้นที่สุดจากต้นทางหนึ่งในกราฟที่น้ำหนักเส้นเชื่อมไม่เป็นลบ

  1. Aต้องใช้ Bellman–Ford ในทุกกรณี
  2. Bอัลกอริทึมของ Dijkstra
  3. Cการค้นหาในแนวลึก
  4. Dอัลกอริทึมของ Kruskal
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

กฎละโมบ "หยิบสิ่งของตามลำดับมูลค่าต่อน้ำหนัก" ให้คำตอบเหมาะสมที่สุดเสมอในปัญหา knapsack แบบใด

  1. Aไม่ใช่ทั้งสองแบบ
  2. Bfractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้
  3. Cทั้งสองแบบ
  4. D0/1 knapsack ซึ่งต้องหยิบสิ่งของทั้งชิ้นเสมอ
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

การท่องแบบ in-order ของ binary search tree เยี่ยมคีย์ตามลำดับ

  1. Aตามลำดับการแทรก
  2. Bตามระดับ
  3. Cเรียงจากมากไปน้อยเสมอ
  4. Dเรียงจากน้อยไปมาก
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

splay tree ทำอะไรหลังการเข้าถึงแต่ละครั้ง

  1. Aเปลี่ยนสีโหนดตามเส้นทางการค้นหา
  2. Bหมุนโหนดที่เข้าถึงขึ้นไปที่ราก
  3. Cย้ายโหนดที่เข้าถึงไปเป็นใบ
  4. Dสร้างต้นไม้ใหม่ทั้งหมดให้สมดุล
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K5 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K5
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
1512215412157ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · อัลกอริทึมของ Dijkstra

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

อัลกอริทึมของ Dijkstra ใช้ได้กับน้ำหนักที่ไม่เป็นลบ ส่วน Bellman–Ford รองรับน้ำหนักติดลบ และ Kruskal สร้างต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุด

คำตอบ

B · อัลกอริทึมของ Dijkstra
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · fractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อแบ่งสิ่งของได้ การเลือกอัตราส่วนดีที่สุดก่อนเหมาะสมที่สุด ใน 0/1 knapsack สิ่งของอัตราส่วนสูงอาจขวางชุดที่ดีกว่า จึงต้องใช้การโปรแกรมพลวัต

คำตอบ

B · fractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · เรียงจากน้อยไปมาก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเยี่ยมต้นไม้ย่อยซ้าย แล้วโหนด แล้วต้นไม้ย่อยขวา ให้คีย์ของ BST ตามลำดับเรียง

คำตอบ

D · เรียงจากน้อยไปมาก
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · หมุนโหนดที่เข้าถึงขึ้นไปที่ราก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การ splay ย้ายโหนดที่เข้าถึงไปที่รากด้วยการหมุน การดำเนินการหนึ่งครั้งอาจใช้ O(n) แต่ต้นทุนกระจายเป็น O(log n)

คำตอบ

B · หมุนโหนดที่เข้าถึงขึ้นไปที่ราก
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 12

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

คำตอบ

H = 12
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 23

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 15, C: 12
C (12): B: 14, E: 16
B (14): D: 29
E (16): D: 28, F: 23
F (23)
D (28)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E → F
d(F) = 23

คำตอบ

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms