โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การที่ปัญหามีโครงสร้างย่อยเหมาะสมที่สุด (optimal substructure) หมายความว่าอย่างไร

  1. Aปัญหามีคำตอบที่เหมาะสมที่สุดเพียงคำตอบเดียว ซึ่งทุกปัญหาย่อยใช้ร่วมกัน
  2. Bปัญหาแก้ได้ในเวลาคงที่
  3. Cทุกปัญหาย่อยมีขนาดเท่ากัน
  4. Dคำตอบที่เหมาะสมที่สุดสร้างได้จากคำตอบที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาย่อย
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

นิยามใดของคลาส P ถูกต้อง

  1. Aปัญหาการตัดสินใจที่แก้ได้ด้วยอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม
  2. Bปัญหาที่ตรวจคำตอบได้แต่ไม่เคยหาคำตอบได้ในเวลาพหุนาม
  3. Cปัญหาที่แก้แบบขนานได้
  4. Dปัญหาที่ต้องใช้เวลาเอกซ์โพเนนเชียลบนคอมพิวเตอร์ทุกเครื่อง
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ข้อใดเป็นจริงเกี่ยวกับเมทริกซ์ประชิดของกราฟไม่มีทิศทาง

  1. Aแต่ละแถวมี 1 เพียงตัวเดียวพอดี
  2. Bเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเสมอ
  3. Cสมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลัก
  4. Dเส้นทแยงมุมหลักมีเลขหนึ่งเสมอ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

คุณสมบัติใดทำให้ B-tree ทุกต้นสมดุลอย่างสมบูรณ์

  1. Aทุกโหนดมีลูกสองตัวพอดี
  2. Bใบทั้งหมดอยู่ที่ความลึกเดียวกัน
  3. Cแต่ละโหนดเก็บหนึ่งคีย์
  4. Dคีย์ถูกเก็บเฉพาะที่ราก
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K8 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K8
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
21111279131ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · คำตอบที่เหมาะสมที่สุดสร้างได้จากคำตอบที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาย่อย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โครงสร้างย่อยเหมาะสมที่สุดจำเป็นสำหรับทั้งอัลกอริทึมละโมบและการโปรแกรมพลวัตเพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง

คำตอบ

D · คำตอบที่เหมาะสมที่สุดสร้างได้จากคำตอบที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาย่อย
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · ปัญหาการตัดสินใจที่แก้ได้ด้วยอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

P ประกอบด้วยปัญหาการตัดสินใจที่มีอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม เช่น การตรวจว่ากราฟเชื่อมต่อกันหรือไม่

คำตอบ

A · ปัญหาการตัดสินใจที่แก้ได้ด้วยอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · สมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลัก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ในกราฟไม่มีทิศทาง เส้นเชื่อม {u, v} หมายความว่าทั้ง M[u][v] และ M[v][u] ถูกตั้งค่า เมทริกซ์จึงเท่ากับทรานสโพสของมัน

คำตอบ

C · สมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลัก
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · ใบทั้งหมดอยู่ที่ความลึกเดียวกัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โหนดแยกขึ้นด้านบนเมื่อเต็ม และต้นไม้สูงขึ้นเฉพาะเมื่อรากแยก ใบทั้งหมดจึงอยู่ที่ระดับเดียวกันเสมอ

คำตอบ

B · ใบทั้งหมดอยู่ที่ความลึกเดียวกัน
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 2520

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

คำตอบ

H = 2520
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 25

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 2, C: 11
B (2): C: 3, D: 14, E: 3
C (3)
E (3): D: 12
D (12): F: 25
F (25)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → B → E → D → F
d(F) = 25

คำตอบ

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms