โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n/2) + O(n) มีผลเฉลยเป็น

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

การเลือกปลายทั้งสองของทุกเส้นเชื่อมใน maximal matching ให้ผลเป็นเซตครอบคลุมจุดยอด (vertex cover) เซตครอบคลุมนี้ดีเพียงใด

  1. Aเป็นเซตครอบคลุมจุดยอดที่เล็กที่สุดเสมอ
  2. Bขนาดไม่เกินสองเท่าของเซตครอบคลุมจุดยอดที่เล็กที่สุด
  3. Cไม่ทราบคุณภาพเมื่อเทียบกับค่าที่เหมาะสมที่สุด
  4. Dไม่เกิน log n เท่าของค่าต่ำสุด
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

บัฟเฟอร์วงกลม (circular buffer หรือ ring buffer) มักใช้สร้าง

  1. Aการท่องกราฟ
  2. Bฟังก์ชันแฮช
  3. Cคิวขนาดคงที่
  4. Dต้นไม้ค้นหาแบบทวิภาค
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

คู่การท่องใดกำหนดต้นไม้ทวิภาคที่มีคีย์ไม่ซ้ำได้เพียงแบบเดียวเสมอ

  1. Apreorder เพียงอย่างเดียว
  2. Bpreorder และ postorder
  3. Cpreorder และ inorder
  4. Dlevel-order เพียงอย่างเดียว
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K8 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K8
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
1152115411131212ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(E) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป E ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: E
d(E) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(n log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โดยทฤษฎีบทหลัก (a = 2, b = 2, f(n) = n) ได้ T(n) = Θ(n log n)

คำตอบ

B · O(n log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · ขนาดไม่เกินสองเท่าของเซตครอบคลุมจุดยอดที่เล็กที่สุด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เส้นเชื่อมใน matching ไม่ใช้จุดยอดร่วมกัน ค่าเหมาะสมที่สุดจึงต้องมีอย่างน้อยหนึ่งจุดยอดต่อหนึ่งเส้น ขณะที่วิธีนี้เลือกสองจุด: การประมาณค่า 2 เท่า

คำตอบ

B · ขนาดไม่เกินสองเท่าของเซตครอบคลุมจุดยอดที่เล็กที่สุด
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · คิวขนาดคงที่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Ring buffer ใช้ดัชนีหัวและท้ายที่วนกลับ ให้ enqueue และ dequeue ใน O(1) ด้วยหน่วยความจำคงที่

คำตอบ

C · คิวขนาดคงที่
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · preorder และ inorder

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Preorder ให้ราก และตำแหน่งของมันในลำดับ inorder แบ่งต้นไม้ย่อยซ้ายและขวา preorder กับ postorder ไม่ชัดเจนเมื่อโหนดมีลูกตัวเดียว

คำตอบ

C · preorder และ inorder
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 2520

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

คำตอบ

H = 2520
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(E) = 16

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 11, C: 5
C (5): E: 16, G: 17
B (11): D: 13
D (13): F: 17
E (16)
F (17)
G (17)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E
d(E) = 16

คำตอบ

d(E) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms