โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การค้นหาในแนวกว้าง (BFS) บนกราฟที่ไม่มีน้ำหนักให้ผลเป็น

  1. Aเส้นทางสั้นที่สุดในกราฟที่มีเส้นเชื่อมน้ำหนักติดลบ
  2. Bเส้นทางสั้นที่สุดในแง่จำนวนเส้นเชื่อมจากโหนดเริ่มต้น
  3. Cต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุด
  4. Dลำดับทอพอโลยีในทุกกราฟ
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เหตุใดอัลกอริทึมของ Dijkstra จึงอาจให้ผลผิดเมื่อน้ำหนักเส้นเชื่อมบางเส้นติดลบ

  1. Aเข้าสู่ลูปไม่สิ้นสุดทุกครั้งที่พบเส้นเชื่อมติดลบ
  2. Bใช้ได้กับกราฟไม่มีทิศทางเท่านั้น
  3. Cตัวเลขติดลบเก็บในคิวลำดับความสำคัญไม่ได้
  4. Dจุดยอดถูกตรึงค่าเมื่อถูกดึงออก แต่เส้นเชื่อมติดลบที่มาทีหลังอาจให้เส้นทางที่สั้นกว่าแก่มัน
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

โปรแกรมที่ทำงานอยู่ใช้โครงสร้างข้อมูลใดติดตามการเรียกฟังก์ชันที่กำลังทำงานและตัวแปรท้องถิ่น

  1. Aตารางแฮชของฟังก์ชัน
  2. Bคิวหน่วยความจำฮีป
  3. Cสแตกการเรียก (call stack)
  4. Dbinary search tree ของเฟรม
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ข้อได้เปรียบหลักของ skip list เหนือลิงก์ลิสต์ที่เรียงลำดับคืออะไร

  1. Aการค้นหา O(log n) คาดหมาย โดยใช้ตัวชี้ไปข้างหน้าหลายระดับ
  2. Bไม่ใช้หน่วยความจำเพิ่ม
  3. Cรับประกันการค้นหา O(1) เพราะทุกโหนดเก็บตัวชี้ไปยังทุกโหนดอื่น
  4. Dเก็บคีย์โดยไม่เรียงลำดับ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 17 จุดยอดและ 20 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 17|E| = 20
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDEF

มีวอล์กความยาว 2 จาก D ไป B กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · เส้นทางสั้นที่สุดในแง่จำนวนเส้นเชื่อมจากโหนดเริ่มต้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

BFS เยี่ยมโหนดตามลำดับระยะทาง (จำนวนเส้นเชื่อม) จากต้นทาง จึงหาเส้นทางสั้นที่สุดแบบไม่มีน้ำหนักได้ใน O(V + E)

คำตอบ

B · เส้นทางสั้นที่สุดในแง่จำนวนเส้นเชื่อมจากโหนดเริ่มต้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · จุดยอดถูกตรึงค่าเมื่อถูกดึงออก แต่เส้นเชื่อมติดลบที่มาทีหลังอาจให้เส้นทางที่สั้นกว่าแก่มัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ขั้นตอนละโมบพึ่งพาน้ำหนักที่ไม่เป็นลบเพื่อให้ระยะทางที่ดึงออกเป็นค่าสุดท้าย เมื่อน้ำหนักอาจติดลบให้ใช้ Bellman–Ford

คำตอบ

D · จุดยอดถูกตรึงค่าเมื่อถูกดึงออก แต่เส้นเชื่อมติดลบที่มาทีหลังอาจให้เส้นทางที่สั้นกว่าแก่มัน
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · สแตกการเรียก (call stack)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละการเรียก push เฟรมสแตกและแต่ละการคืนค่า pop ออก จึงเป็นเหตุที่การเรียกล่าสุดเสร็จก่อน

คำตอบ

C · สแตกการเรียก (call stack)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · การค้นหา O(log n) คาดหมาย โดยใช้ตัวชี้ไปข้างหน้าหลายระดับ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ระดับแบบสุ่มทำให้การค้นหาข้ามหลายโหนด ได้การค้นหา แทรก และลบ O(log n) คาดหมาย

คำตอบ

A · การค้นหา O(log n) คาดหมาย โดยใช้ตัวชี้ไปข้างหน้าหลายระดับ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 4

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

17 − 1 = 16

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 20 − 16 = 4

คำตอบ

k = 4
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 1

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

เพื่อนบ้านร่วม

(M²)DB = 0·0 + 0·0 + 0·1 + 0·0 + 1·1 + 1·0 = 1

คำตอบ

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms