โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของอัลกอริทึมการโปรแกรมพลวัตมาตรฐานสำหรับสายอักขระย่อยร่วมที่ยาวที่สุด (LCS) ของสายอักขระที่ยาว m และ n คือเท่าใด

  1. AO(2m+n)
  2. BO(mn)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(m + n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ทฤษฎีบท Cook–Levin พิสูจน์สิ่งใด

  1. Aปัญหาความสอดคล้องของสูตรบูลีน (SAT) เป็น NP-complete
  2. BP ไม่เท่ากับ NP
  3. Cทุกปัญหา NP แก้ได้ในเวลาเอกซ์โพเนนเชียล
  4. Dปัญหาการหยุดตัดสินไม่ได้
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

โหนดใน binary search tree มีต้นไม้ย่อยขวา in-order successor ของมันอยู่ที่ใด

  1. Aลูกขวาของมันเสมอ
  2. Bโหนดขวาสุดของต้นไม้ย่อยซ้าย
  3. Cแม่ของมันเสมอ
  4. Dโหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

วัตถุถูกเก็บเป็นคีย์ใน hash map จากนั้นฟิลด์ที่ฟังก์ชันแฮชใช้ถูกเปลี่ยน ผลลัพธ์ที่น่าจะเกิดคืออะไร

  1. Amap โยนข้อผิดพลาดทันทีที่ฟิลด์เปลี่ยน
  2. Bmap ย้ายคีย์ไปถังใหม่โดยอัตโนมัติ
  3. Cไม่มีอะไรเปลี่ยน เพราะแฮชของคีย์คำนวณเพียงครั้งเดียวตอนโปรแกรมเริ่มทำงาน
  4. Dการค้นหาวัตถุอาจล้มเหลว เพราะมันอยู่ในถังของแฮชเก่า
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K6 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K6
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
714213105781112ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 4 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(mn)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ตารางมี (m + 1)(n + 1) ช่อง และแต่ละช่องคำนวณใน O(1) จากช่องข้างเคียง

คำตอบ

B · O(mn)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · ปัญหาความสอดคล้องของสูตรบูลีน (SAT) เป็น NP-complete

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Cook และ Levin แสดงโดยอิสระต่อกันว่าทุกปัญหาใน NP ลดรูปมาเป็น SAT ในเวลาพหุนาม SAT จึงเป็นปัญหา NP-complete ข้อแรกที่รู้จัก

คำตอบ

A · ปัญหาความสอดคล้องของสูตรบูลีน (SAT) เป็น NP-complete
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · โหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

คีย์ที่ใหญ่กว่าที่อยู่ใกล้โหนดอยู่ในต้นไม้ย่อยขวา และตัวที่เล็กที่สุดคือโหนดซ้ายสุดที่นั่น

คำตอบ

D · โหนดซ้ายสุดของต้นไม้ย่อยขวา
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · การค้นหาวัตถุอาจล้มเหลว เพราะมันอยู่ในถังของแฮชเก่า

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ตำแหน่งของคีย์เลือกจากแฮชเก่า เมื่อแฮชใหม่ การค้นหาจะดูผิดถัง คีย์จึงควรเปลี่ยนแปลงไม่ได้ (immutable)

คำตอบ

D · การค้นหาวัตถุอาจล้มเหลว เพราะมันอยู่ในถังของแฮชเก่า
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 60

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

คำตอบ

H = 60
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: G

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 7
2. B (7): C: 21, D: 9, G: 14
3. D (9): F: 19
4. G (14): E: 26
5. F (19): E: 24
6. C (21)
7. E (24)

รอบ 4

G

คำตอบ

G

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms