โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การค้นหาแบบทวิภาคต้องเปรียบเทียบประมาณกี่ครั้งในกรณีเลวร้ายที่สุดบนอาร์เรย์ที่เรียงแล้วซึ่งมี 1,000,000 สมาชิก

  1. Aประมาณ 1,000
  2. Bประมาณ 500,000
  3. Cประมาณ 20
  4. Dประมาณ 100
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

n! และ 2ⁿ เปรียบเทียบกันอย่างไรเมื่อ n มาก

  1. A2ⁿ เติบโตเร็วกว่า n!
  2. Bเติบโตในอัตราเดียวกัน
  3. Cn! เติบโตเร็วกว่า 2ⁿ
  4. Dn! เป็น O(n²)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

โครงสร้างข้อมูลใดที่การค้นหาในแนวลึก (DFS) แบบวนซ้ำใช้

  1. Aสแตก
  2. Bคิว
  3. Cฮีป
  4. Dตารางแฮชเท่านั้น
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

คุณสมบัติใดทำให้ B-tree ทุกต้นสมดุลอย่างสมบูรณ์

  1. Aคีย์ถูกเก็บเฉพาะที่ราก
  2. Bใบทั้งหมดอยู่ที่ความลึกเดียวกัน
  3. Cทุกโหนดมีลูกสองตัวพอดี
  4. Dแต่ละโหนดเก็บหนึ่งคีย์
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K8 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K8
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
2097121211106ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 3 เส้นที่ถูกข้ามไม่นับ

k = 3
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DF
  7. 7เส้นเชื่อม EF
  8. 8เส้นเชื่อม GD
  9. 9เส้นเชื่อม GE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · ประมาณ 20

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

220 ≈ 1,048,576 ดังนั้นหลังแบ่งครึ่งประมาณ 20 ครั้งจะเหลือสมาชิกเพียงตัวเดียว

คำตอบ

C · ประมาณ 20
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · n! เติบโตเร็วกว่า 2ⁿ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สำหรับ n ≥ 4 ค่า n! เกิน 2ⁿ และอัตราส่วนเติบโตไม่มีขอบเขต เพราะตัวคูณเพิ่มเติมแต่ละตัวของ n! ใหญ่กว่า 2

คำตอบ

C · n! เติบโตเร็วกว่า 2ⁿ
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · สแตก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

DFS สำรวจลึกที่สุดเท่าที่ทำได้ โดยใช้สแตกตามธรรมชาติ (หรือสแตกการเรียกของการเรียกซ้ำ) ส่วน BFS ใช้คิว

คำตอบ

A · สแตก
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · ใบทั้งหมดอยู่ที่ความลึกเดียวกัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โหนดแยกขึ้นด้านบนเมื่อเต็ม และต้นไม้สูงขึ้นเฉพาะเมื่อรากแยก ใบทั้งหมดจึงอยู่ที่ระดับเดียวกันเสมอ

คำตอบ

B · ใบทั้งหมดอยู่ที่ความลึกเดียวกัน
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 2520

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

คำตอบ

H = 2520
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม GE

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

1. CE (1)
2. DF (2)
3. GE (6)
4. BC (7)
5. AC (9)
6. GD (10)

เส้นเชื่อมหมายเลข 3

GE

คำตอบ

เส้นเชื่อม GE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms