โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาเฉลี่ยแบบกระจายต้นทุน (amortised) ของการต่อท้ายอาร์เรย์พลวัตที่เพิ่มความจุเป็นสองเท่าเมื่อเต็มคือเท่าใด

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

อัลกอริทึม Bellman–Ford ตรวจจับวงจรน้ำหนักติดลบที่ไปถึงได้จากต้นทางอย่างไร

  1. Aหลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่
  2. Bนับวงจรด้วยการค้นหาในแนวลึก
  3. Cตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดมีน้ำหนักติดลบหรือไม่
  4. Dรัน Dijkstra สองครั้งแล้วเปรียบเทียบผลระยะทางทั้งสองชุด
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ต้นทุนของการแทรกสมาชิกตรงกลางอาร์เรย์ที่มี n สมาชิกคือเท่าใด

  1. AO(n) เพราะสมาชิกหลังจากนั้นต้องเลื่อน
  2. BO(n²) เพราะแต่ละสมาชิกย้าย n ครั้ง
  3. CO(1) เพราะทราบดัชนี
  4. DO(log n) เพราะการค้นหาแบบทวิภาค
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ในตารางแฮชที่ใช้ open addressing เหตุใดการลบจึงมักทำด้วยเครื่องหมาย "tombstone"

  1. Aทำให้ตารางเรียงลำดับ
  2. Bคีย์ที่ลบต้องเก็บไว้ตลอดไปเพื่อความปลอดภัย จึงใช้ช่องนั้นซ้ำไม่ได้
  3. Ctombstone เร่งการแฮช
  4. Dการทำให้ช่องว่างอาจทำลายลำดับการตรวจสอบสำหรับคีย์อื่น
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 7 จุดยอดและ 14 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 7|E| = 14
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
155117182010916ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของพริมสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเริ่มจากจุดยอด C ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 5

เริ่มต้น: Ck = 5
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DE
  7. 7เส้นเชื่อม DF
  8. 8เส้นเชื่อม GB
  9. 9เส้นเชื่อม GD
  10. 10เส้นเชื่อม GE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การคัดลอกสมาชิกทั้งหมดเกิดขึ้นเฉพาะที่เลขกำลังสอง เมื่อกระจายต้นทุนตลอดทุกการต่อท้าย ค่าเฉลี่ยต่อหนึ่งครั้งจึงคงที่

คำตอบ

D · O(1)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · หลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ระยะทางสั้นที่สุดจริงทั้งหมดพบภายใน V − 1 รอบ ถ้ายังปรับปรุงเส้นเชื่อมใดได้อีก ต้องมีวงจรติดลบ

คำตอบ

A · หลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · O(n) เพราะสมาชิกหลังจากนั้นต้องเลื่อน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สมาชิกทั้งหมดหลังจุดแทรกเลื่อนไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง ซึ่งใช้เวลาแปรผันตาม n

คำตอบ

A · O(n) เพราะสมาชิกหลังจากนั้นต้องเลื่อน
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · การทำให้ช่องว่างอาจทำลายลำดับการตรวจสอบสำหรับคีย์อื่น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หากช่องที่ถูกลบกลายเป็นช่องว่าง การค้นหาภายหลังอาจหยุดก่อนและพลาดคีย์ที่วางไว้ไกลออกไปตามลำดับการตรวจสอบ

คำตอบ

D · การทำให้ช่องว่างอาจทำลายลำดับการตรวจสอบสำหรับคีย์อื่น
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 8

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

7 − 1 = 6

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 14 − 6 = 8

คำตอบ

k = 8
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม GE

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของพริม

1. AC (5)
2. BC (11)
3. BD (7)
4. GD (1)
5. GE (6)
6. DF (10)

เส้นเชื่อมหมายเลข 5

GE

คำตอบ

เส้นเชื่อม GE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms