โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึมละโมบ (greedy) คือ

  1. Aเลือกทางที่ดีที่สุดเฉพาะที่ในแต่ละขั้น
  2. Bให้คำตอบที่เหมาะสมที่สุดเสมอ
  3. Cใช้การเรียกซ้ำเท่านั้น
  4. Dลองทุกคำตอบที่เป็นไปได้
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เหตุใดการค้นหาแบบเปรียบเทียบใด ๆ ในอาร์เรย์ที่เรียงแล้วจึงต้องใช้ Ω(log n) การเปรียบเทียบในกรณีเลวร้ายที่สุด

  1. Aการค้นหาแบบทวิภาคเป็นอัลกอริทึมเดียวที่เป็นไปได้ และต้องใช้ log₂ n การเปรียบเทียบ
  2. Bการเปรียบเทียบแต่ละครั้งใช้เวลาแบบลอการิทึม
  3. Cทุกสมาชิกต้องถูกเปรียบเทียบอย่างน้อยหนึ่งครั้ง
  4. Dต้นไม้ตัดสินใจที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ n แบบต้องมีความลึกอย่างน้อย log₂ n
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เหตุใดฮีปทวิภาคจึงเก็บในอาร์เรย์ได้โดยไม่ต้องใช้ตัวชี้

  1. Aฮีปมีสมาชิกไม่เกิน 100 ตัวเสมอ
  2. Bอาร์เรย์เก็บคีย์ให้เรียงลำดับโดยอัตโนมัติ จึงไม่ต้องใช้ตัวชี้
  3. Cคีย์ทั้งหมดในฮีปเท่ากัน
  4. Dเป็นต้นไม้ทวิภาคสมบูรณ์ ตำแหน่งจึงเป็นไปตามสูตรดัชนีง่าย ๆ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ในอัลกอริทึมต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุดของ Kruskal โครงสร้าง union-find ใช้เพื่อ

  1. Aเรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนัก
  2. Bตรวจว่าปลายทั้งสองของเส้นเชื่อมเชื่อมต่อกันอยู่แล้วหรือไม่
  3. Cเก็บระยะทางปัจจุบันของแต่ละจุดยอดจากต้นทางระหว่างการค้นหา
  4. Dเลือกจุดยอดเริ่มต้น
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 7
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
4208161871415ABCDEF

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 6|E| = 8
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · เลือกทางที่ดีที่สุดเฉพาะที่ในแต่ละขั้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

อัลกอริทึมละโมบเร็วและให้ผลเหมาะสมที่สุดในบางปัญหา (เช่น Dijkstra, การเข้ารหัส Huffman) แต่ไม่ใช่โดยทั่วไป (เช่น การทอนเหรียญในระบบเหรียญบางแบบ)

คำตอบ

A · เลือกทางที่ดีที่สุดเฉพาะที่ในแต่ละขั้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ต้นไม้ตัดสินใจที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ n แบบต้องมีความลึกอย่างน้อย log₂ n

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเปรียบเทียบแต่ละครั้งลดเซตความเป็นไปได้ที่เหลือลงอย่างมากที่สุดครึ่งหนึ่ง การแยกแยะ n ตำแหน่งจึงต้องใช้อย่างน้อย log₂ n การเปรียบเทียบ

คำตอบ

D · ต้นไม้ตัดสินใจที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ n แบบต้องมีความลึกอย่างน้อย log₂ n
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · เป็นต้นไม้ทวิภาคสมบูรณ์ ตำแหน่งจึงเป็นไปตามสูตรดัชนีง่าย ๆ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ความสมบูรณ์หมายความว่าไม่มีช่องว่าง ลูกของดัชนี i จึงอยู่ที่ 2i + 1 และ 2i + 2 เสมอ

คำตอบ

D · เป็นต้นไม้ทวิภาคสมบูรณ์ ตำแหน่งจึงเป็นไปตามสูตรดัชนีง่าย ๆ
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · ตรวจว่าปลายทั้งสองของเส้นเชื่อมเชื่อมต่อกันอยู่แล้วหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Find บอกว่าปลายทั้งสองอยู่ในส่วนประกอบเดียวกันหรือไม่ ถ้าไม่ ก็เพิ่มเส้นเชื่อมและ union รวมส่วนประกอบ

คำตอบ

B · ตรวจว่าปลายทั้งสองของเส้นเชื่อมเชื่อมต่อกันอยู่แล้วหรือไม่
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

จุดยอดคี่

A, C, D, E, F, G → 6
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

คำตอบ

ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 49

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

AC (4): เลือก
DF (7): เลือก
BD (8): เลือก
EF (14): เลือก
BE (15): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
CE (16): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 4 + 7 + 8 + 14 + 16 = 49

คำตอบ

W = 49

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms