โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของอัลกอริทึม Bellman–Ford บนกราฟที่มี V จุดยอดและ E เส้นเชื่อมคือเท่าใด

AO(V³ × E)
BO(E log V)
CO(V × E)
DO(V + E)

2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เทคนิคใดให้เวลาทำงานคาดหมาย O(n log n) ของ quicksort กับอินพุตใด ๆ

Aเลือกตัวหลักแบบสุ่มสม่ำเสมอ
Bเลือกสมาชิกตัวแรกเสมอ
Cเรียงอินพุตก่อนรัน quicksort
Dเรียกซ้ำเฉพาะฝั่งซ้าย

3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ในฮีปทวิภาคที่เก็บในอาร์เรย์เริ่มที่ดัชนี 0 แม่ของโหนดที่ดัชนี i อยู่ที่ใด

Aที่ดัชนี ⌊(i − 1) / 2⌋
Bที่ดัชนี 2i + 1
Cที่ดัชนี ⌊i / 2⌋ + 1
Dที่ดัชนี i − 1

4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เวลาทำงานของการค้นหาในแนวกว้างบนกราฟที่มี V จุดยอดที่เก็บเป็นเมทริกซ์ประชิดคือเท่าใด

AO(V + E)
BO(E log V)
CO(V)
DO(V²)

5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 11 จุดยอดและ 13 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 11|E| = 13

k =

6.ทฤษฎีกราฟยาก

มีวอล์กปิดความยาว 2 ที่เริ่มและจบที่ C กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2

N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(V × E)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละรอบจาก V − 1 รอบผ่อนคลายเส้นเชื่อมทั้ง E เส้น ได้ O(VE) แลกกับการรองรับน้ำหนักเส้นเชื่อมติดลบ

คำตอบ

C · O(V × E)

2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · เลือกตัวหลักแบบสุ่มสม่ำเสมอ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อเลือกตัวหลักแบบสุ่ม เวลาทำงานคาดหมายเป็น O(n log n) สำหรับทุกอินพุต กรณีแย่ยังมีอยู่แต่เกิดขึ้นได้น้อยมาก

คำตอบ

A · เลือกตัวหลักแบบสุ่มสม่ำเสมอ

3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · ที่ดัชนี ⌊(i − 1) / 2⌋

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ลูกของ i อยู่ที่ 2i + 1 และ 2i + 2 ดังนั้นแม่ของ i คือ ⌊(i − 1) / 2⌋ ถ้าดัชนีเริ่มที่ 1 จะเป็น ⌊i / 2⌋

คำตอบ

A · ที่ดัชนี ⌊(i − 1) / 2⌋

4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · O(V²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

จุดยอดทั้ง V สแกนแถวที่มี V ช่อง ได้ O(V²) ส่วนรายการประชิดทำให้ BFS เป็น O(V + E)

คำตอบ

D · O(V²)

5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 3

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว K_n มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

11 − 1 = 10

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 13 − 10 = 3

คำตอบ

k = 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 3

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ K_n มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 0 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 0 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

เพื่อนบ้านร่วม

(M²)_CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

คำตอบ

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms