โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

อัลกอริทึม Floyd–Warshall คำนวณอะไรและเร็วเพียงใด

  1. Aลำดับทอพอโลยีใน O(V²)
  2. Bเส้นทางสั้นที่สุดจากจุดยอดต้นทางหนึ่งไปยังจุดยอดอื่นทั้งหมดใน O(V + E)
  3. Cต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุดใน O(E log V)
  4. Dเส้นทางสั้นที่สุดระหว่างจุดยอดทุกคู่ใน O(V³)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

กฎละโมบ "หยิบสิ่งของตามลำดับมูลค่าต่อน้ำหนัก" ให้คำตอบเหมาะสมที่สุดเสมอในปัญหา knapsack แบบใด

  1. Afractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้
  2. B0/1 knapsack ซึ่งต้องหยิบสิ่งของทั้งชิ้นเสมอ
  3. Cทั้งสองแบบ
  4. Dไม่ใช่ทั้งสองแบบ
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

รายการประชิดใช้หน่วยความจำเท่าใดสำหรับกราฟที่มี V จุดยอดและ E เส้นเชื่อม

  1. AO(V + E)
  2. BO(V²)
  3. CO(E²)
  4. DO(V × E)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

กฎของต้นไม้แดง–ดำรับประกันอะไรเกี่ยวกับความสูงของต้นไม้ที่มี n คีย์

  1. Aความสูงไม่เกิน 2 log2(n + 1)
  2. Bความสูงเท่ากับ log2 n พอดี
  3. Cความสูงไม่เกิน n / 2
  4. Dความสูงไม่เกิน log2 n + 1
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 12 จุดยอดและ 18 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 12|E| = 18
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDEF

มีวอล์กปิดความยาว 2 ที่เริ่มและจบที่ F กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · เส้นทางสั้นที่สุดระหว่างจุดยอดทุกคู่ใน O(V³)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Floyd–Warshall เป็นอัลกอริทึมการโปรแกรมพลวัตที่อนุญาตให้ทีละจุดยอดเป็นจุดผ่านกลาง โดยใช้เวลา O(V³)

คำตอบ

D · เส้นทางสั้นที่สุดระหว่างจุดยอดทุกคู่ใน O(V³)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · fractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อแบ่งสิ่งของได้ การเลือกอัตราส่วนดีที่สุดก่อนเหมาะสมที่สุด ใน 0/1 knapsack สิ่งของอัตราส่วนสูงอาจขวางชุดที่ดีกว่า จึงต้องใช้การโปรแกรมพลวัต

คำตอบ

A · fractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · O(V + E)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละจุดยอดมีรายการ และแต่ละเส้นเชื่อมปรากฏหนึ่งครั้ง (มีทิศทาง) หรือสองครั้ง (ไม่มีทิศทาง) ได้ O(V + E)

คำตอบ

A · O(V + E)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · ความสูงไม่เกิน 2 log2(n + 1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ทุกเส้นทางมีจำนวนโหนดดำเท่ากัน และโหนดแดงติดกันไม่ได้ เส้นทางที่ยาวที่สุดจึงไม่เกินสองเท่าของที่สั้นที่สุด ได้ความสูง O(log n)

คำตอบ

A · ความสูงไม่เกิน 2 log2(n + 1)
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 7

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

12 − 1 = 11

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 18 − 11 = 7

คำตอบ

k = 7
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 2

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

เพื่อนบ้านร่วม

(M²)FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 2

คำตอบ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms