โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

quicksort ใช้สมาชิกตัวแรกเป็นตัวหลักเสมอ อินพุตแบบใดแสดงพฤติกรรมกรณีเลวร้ายที่สุดของมัน

  1. Aอาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว
  2. Bอาร์เรย์ที่สมาชิกทุกตัวต่างกัน
  3. Cอาร์เรย์ที่เรียงแบบสุ่ม
  4. Dอาร์เรย์ความยาว 2
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n/2) + n log n มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log² n)
  4. DΘ(n log n)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เหตุใดการท่องอาร์เรย์จึงเร็วกว่าการท่องลิงก์ลิสต์ที่ยาวเท่ากันมากในทางปฏิบัติ

  1. Aสมาชิกของอาร์เรย์ต่อเนื่องกัน จึงใช้แคชของ CPU ได้ดี
  2. Bลิงก์ลิสต์เก็บสมาชิกบนดิสก์เสมอ
  3. Cอาร์เรย์ใช้คำสั่งน้อยกว่าในการเปรียบเทียบค่า
  4. Dการท่องอาร์เรย์เป็น O(1) โดยรวม ส่วนการท่องลิงก์ลิสต์เป็น O(n)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

อาร์เรย์พลวัตเพิ่มเป็นสองเท่าเมื่อเต็ม เหตุใดหลายการสร้างจึงหดมันเมื่อเหลือเพียงหนึ่งในสี่เท่านั้น ไม่ใช่ครึ่งหนึ่ง

  1. Aเพราะตัวจัดสรรหน่วยความจำคืนหน่วยความจำได้เฉพาะเป็นหนึ่งในสี่ของบล็อกเท่านั้น
  2. Bเพื่อหลีกเลี่ยงการปรับขนาดซ้ำเมื่อ push และ pop สลับกันใกล้ขอบเขต
  3. Cเพื่อให้อาร์เรย์เรียงลำดับ
  4. Dเพราะการหดที่ครึ่งหนึ่งทำให้สมาชิกหาย
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 15 จุดยอดและ 17 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 15|E| = 17
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
15510142019171ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของพริมสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเริ่มจากจุดยอด F ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 4

เริ่มต้น: Fk = 4
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DF
  7. 7เส้นเชื่อม EF
  8. 8เส้นเชื่อม BE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · อาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

บนอินพุตที่เรียงแล้ว ตัวหลักเป็นค่าต่ำสุดเสมอ ฝั่งหนึ่งว่างและอีกฝั่งมี n − 1 ตัว ได้ O(n²)

คำตอบ

A · อาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้ว
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · Θ(n log² n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ระดับที่ k ทำงานประมาณ n log(n / 2ᵏ) และผลรวมตลอด log n ระดับได้ Θ(n log² n) ซึ่งเป็นกรณีที่สองแบบขยายของทฤษฎีบทหลัก

คำตอบ

C · Θ(n log² n)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · สมาชิกของอาร์เรย์ต่อเนื่องกัน จึงใช้แคชของ CPU ได้ดี

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

หน่วยความจำต่อเนื่องให้ locality of reference ที่ดี ขณะที่โหนดที่เชื่อมกันอาจกระจัดกระจายและทำให้เกิด cache miss มาก

คำตอบ

A · สมาชิกของอาร์เรย์ต่อเนื่องกัน จึงใช้แคชของ CPU ได้ดี
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · เพื่อหลีกเลี่ยงการปรับขนาดซ้ำเมื่อ push และ pop สลับกันใกล้ขอบเขต

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การหดที่ครึ่งหนึ่งอาจกระตุ้นการปรับขนาดทุกการดำเนินการในลำดับเช่นนั้น ช่องว่างระหว่าง 1/4 กับเต็มรักษาต้นทุนกระจายเป็น O(1)

คำตอบ

B · เพื่อหลีกเลี่ยงการปรับขนาดซ้ำเมื่อ push และ pop สลับกันใกล้ขอบเขต
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 3

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

15 − 1 = 14

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 17 − 14 = 3

คำตอบ

k = 3
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม AC

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของพริม

1. EF (17)
2. BE (1)
3. BC (10)
4. AC (5)
5. BD (14)

เส้นเชื่อมหมายเลข 4

AC

คำตอบ

เส้นเชื่อม AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms