โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาในกรณีเลวร้ายที่สุดของ quicksort คือเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

โดยใช้ทฤษฎีบทหลัก T(n) = 8T(n/2) + O(n²) มีผลเฉลยเป็น

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n³)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ความสูงในกรณีเลวร้ายที่สุดของ binary search tree ที่มี n โหนดคือเท่าใด ถ้าแทรกคีย์ตามลำดับที่เรียงแล้ว

  1. A√n
  2. B1
  3. Clog₂ n
  4. Dn (กลายเป็นลิงก์ลิสต์)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ภายใต้การแฮชสม่ำเสมออย่างง่าย เวลาคาดหมายของการค้นหาในตารางแฮชแบบ chaining ที่มี n คีย์และ m ถังคือเท่าใด

  1. AO(n)
  2. BO(m)
  3. CO(1 + α) เมื่อ α = n / m
  4. DO(log n)
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 5|E| = 7
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
81161715316718ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของพริมสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเริ่มจากจุดยอด E ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 6

เริ่มต้น: Ek = 6
  1. 1เส้นเชื่อม AB
  2. 2เส้นเชื่อม AC
  3. 3เส้นเชื่อม BC
  4. 4เส้นเชื่อม BD
  5. 5เส้นเชื่อม CE
  6. 6เส้นเชื่อม DF
  7. 7เส้นเชื่อม EF
  8. 8เส้นเชื่อม GD
  9. 9เส้นเชื่อม GE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(n²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อเลือกตัวหลักไม่ดีติดต่อกัน (เช่น อินพุตที่เรียงแล้วและเลือกตัวแรกเป็นตัวหลัก) การแบ่งส่วนจะไม่สมดุล ได้ O(n²) ส่วนกรณีเฉลี่ยคือ O(n log n)

คำตอบ

A · O(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · Θ(n³)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

log₂ 8 = 3 และ n² เติบโตช้ากว่า n³ ใบจึงครอบงำ: Θ(n³)

คำตอบ

D · Θ(n³)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · n (กลายเป็นลิงก์ลิสต์)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การแทรกตามลำดับสร้างต้นไม้เสื่อมที่มีความสูง n ทำให้การค้นหาเป็น O(n) ต้นไม้สมดุลป้องกันเรื่องนี้

คำตอบ

D · n (กลายเป็นลิงก์ลิสต์)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · O(1 + α) เมื่อ α = n / m

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การคำนวณแฮชมีต้นทุน O(1) และความยาวโซ่คาดหมายคือ α การรักษา α ให้มีขอบเขตด้วยการปรับขนาดจึงได้เวลาคาดหมาย O(1)

คำตอบ

C · O(1 + α) เมื่อ α = n / m
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

จุดยอดคี่

C, E → 2
ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

คำตอบ

ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร

ทางเดินออยเลอร์เริ่มที่จุดยอดคี่จุดหนึ่งและจบที่อีกจุดหนึ่ง

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม GD

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของพริม

1. CE (15)
2. BC (6)
3. AB (8)
4. EF (16)
5. DF (3)
6. GD (7)

เส้นเชื่อมหมายเลข 6

GD

คำตอบ

เส้นเชื่อม GD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms