โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การค้นหาแบบทวิภาคต้องเปรียบเทียบประมาณกี่ครั้งในกรณีเลวร้ายที่สุดบนอาร์เรย์ที่เรียงแล้วซึ่งมี 1,000,000 สมาชิก

  1. Aประมาณ 500,000
  2. Bประมาณ 20
  3. Cประมาณ 100
  4. Dประมาณ 1,000
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ปัญหาความสอดคล้องข้อใดต่อไปนี้ทราบว่าแก้ได้ในเวลาพหุนาม

  1. ASAT ทั่วไปบนสูตรรูปแบบนอร์มัลเชิงเชื่อม
  2. B3-SAT ซึ่งแต่ละวลีมีลิเทอรัลสามตัวพอดี
  3. C2-SAT ซึ่งแต่ละวลีมีลิเทอรัลไม่เกินสองตัว
  4. Dความสอดคล้องของวงจร
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

คิวถูกสร้างด้วยสแตกสองตัว: push ลงสแตก "in" และ pop จากสแตก "out" โดยเติมจาก "in" เมื่อว่าง ต้นทุนกระจายต่อการดำเนินการคือเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

การแฮชซ้อน (double hashing) ลดปัญหาใดของ linear probing เป็นหลัก

  1. Aการจับกลุ่มปฐมภูมิ (primary clustering) ซึ่งช่องที่ถูกใช้ต่อกันเป็นสายยาว
  2. Bความจำเป็นต้องเก็บคีย์ในตาราง
  3. Cความจำเป็นต้องมีฟังก์ชันแฮช
  4. Dต้นทุน O(n) ในการอ่านค่าของคีย์
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 13 จุดยอดและ 19 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 13|E| = 19
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
111137310981412ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้คลิกเส้นเชื่อมที่เพิ่มเป็นเส้นหมายเลข 4 เส้นที่ถูกข้ามไม่นับ

k = 4
  1. 1เส้นเชื่อม AC
  2. 2เส้นเชื่อม BC
  3. 3เส้นเชื่อม BD
  4. 4เส้นเชื่อม CE
  5. 5เส้นเชื่อม DE
  6. 6เส้นเชื่อม DF
  7. 7เส้นเชื่อม EF
  8. 8เส้นเชื่อม GB
  9. 9เส้นเชื่อม GC
  10. 10เส้นเชื่อม GE

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · ประมาณ 20

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

220 ≈ 1,048,576 ดังนั้นหลังแบ่งครึ่งประมาณ 20 ครั้งจะเหลือสมาชิกเพียงตัวเดียว

คำตอบ

B · ประมาณ 20
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · 2-SAT ซึ่งแต่ละวลีมีลิเทอรัลไม่เกินสองตัว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

2-SAT อยู่ใน P (เวลาเชิงเส้นผ่านส่วนประกอบเชื่อมโยงเข้มแข็ง) ส่วน 3-SAT เป็น NP-complete

คำตอบ

C · 2-SAT ซึ่งแต่ละวลีมีลิเทอรัลไม่เกินสองตัว
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละสมาชิกถูก push และ pop ไม่เกินสองครั้งรวม แม้การเติมหนึ่งครั้งอาจใช้ O(n) ค่าเฉลี่ยตลอดลำดับเป็น O(1)

คำตอบ

D · O(1)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · การจับกลุ่มปฐมภูมิ (primary clustering) ซึ่งช่องที่ถูกใช้ต่อกันเป็นสายยาว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Linear probing ก้าวทีละ 1 สายที่ถูกใช้จึงโตและรวมกัน ส่วน double hashing ใช้แฮชที่สองกำหนดขนาดก้าว คีย์ต่างกันจึงตรวจลำดับต่างกัน

คำตอบ

A · การจับกลุ่มปฐมภูมิ (primary clustering) ซึ่งช่องที่ถูกใช้ต่อกันเป็นสายยาว
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 7

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

13 − 1 = 12

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 19 − 12 = 7

คำตอบ

k = 7
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: เส้นเชื่อม GB

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

1. BC (1)
2. DE (3)
3. CE (7)
4. GB (8)
5. EF (9)
6. AC (11)

เส้นเชื่อมหมายเลข 4

GB

คำตอบ

เส้นเชื่อม GB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms