โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ for i = 1 to n: for j = 1 to i: ทำงาน O(1) คือเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

นิยามใดของคลาส P ถูกต้อง

  1. Aปัญหาที่แก้แบบขนานได้
  2. Bปัญหาการตัดสินใจที่แก้ได้ด้วยอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม
  3. Cปัญหาที่ตรวจคำตอบได้แต่ไม่เคยหาคำตอบได้ในเวลาพหุนาม
  4. Dปัญหาที่ต้องใช้เวลาเอกซ์โพเนนเชียลบนคอมพิวเตอร์ทุกเครื่อง
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

การตรวจว่ามีเส้นเชื่อม (u, v) หรือไม่ด้วยเมทริกซ์ประชิดใช้เวลาเท่าใด

  1. AO(log V)
  2. BO(E)
  3. CO(V)
  4. DO(1)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

การกลับลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวในที่เดิมมีต้นทุนด้านเวลาและพื้นที่เพิ่มเติมเท่าใด

  1. Aเวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(n)
  2. Bเวลา O(n log n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
  3. Cเวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
  4. Dเวลา O(1) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K7 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K7
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
712612131819516ABCDEFG

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 7|E| = 10
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(n²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เนื้อหาของลูปชั้นในทำงานรวม n(n + 1) / 2 ครั้ง ซึ่งยังเป็นกำลังสอง

คำตอบ

A · O(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · ปัญหาการตัดสินใจที่แก้ได้ด้วยอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

P ประกอบด้วยปัญหาการตัดสินใจที่มีอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม เช่น การตรวจว่ากราฟเชื่อมต่อกันหรือไม่

คำตอบ

B · ปัญหาการตัดสินใจที่แก้ได้ด้วยอัลกอริทึมแบบกำหนดแน่นอนในเวลาพหุนาม
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ช่องของเมทริกซ์ที่แถว u คอลัมน์ v บอกทันทีว่ามีเส้นเชื่อมหรือไม่ รายการประชิดอาจต้องสแกนข้างเคียงของ u

คำตอบ

D · O(1)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · เวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเก็บตัวชี้สามตัว (previous, current, next) ทำให้กลับแต่ละลิงก์ในรอบเดียวโดยไม่จัดสรรโหนดใหม่

คำตอบ

C · เวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 360

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

คำตอบ

H = 360
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 39

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

BD (1): เลือก
CE (2): เลือก
GC (5): เลือก
BC (6): เลือก
AB (7): เลือก
AC (12): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
DE (13): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
GE (16): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
DF (18): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 1 + 2 + 5 + 6 + 7 + 18 = 39

คำตอบ

W = 39

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms