โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาในกรณีเลวร้ายที่สุดของ quicksort คือเท่าใด

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

อัลกอริทึมใดหาต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุดโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่ถูกที่สุดซึ่งไม่ก่อวงจรซ้ำ ๆ

  1. Aอัลกอริทึมของ Kruskal
  2. BFloyd–Warshall
  3. Cอัลกอริทึมของ Dijkstra
  4. Dอัลกอริทึมของ Prim ที่เริ่มจากโหนดเดียว
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

โปรแกรมที่ทำงานอยู่ใช้โครงสร้างข้อมูลใดติดตามการเรียกฟังก์ชันที่กำลังทำงานและตัวแปรท้องถิ่น

  1. Aตารางแฮชของฟังก์ชัน
  2. Bbinary search tree ของเฟรม
  3. Cสแตกการเรียก (call stack)
  4. Dคิวหน่วยความจำฮีป
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

คู่การท่องใดกำหนดต้นไม้ทวิภาคที่มีคีย์ไม่ซ้ำได้เพียงแบบเดียวเสมอ

  1. Apreorder เพียงอย่างเดียว
  2. Bpreorder และ inorder
  3. Clevel-order เพียงอย่างเดียว
  4. Dpreorder และ postorder
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K8 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K8
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
20184561291016717ABCDEFG

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 7|E| = 11
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(n²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อเลือกตัวหลักไม่ดีติดต่อกัน (เช่น อินพุตที่เรียงแล้วและเลือกตัวแรกเป็นตัวหลัก) การแบ่งส่วนจะไม่สมดุล ได้ O(n²) ส่วนกรณีเฉลี่ยคือ O(n log n)

คำตอบ

B · O(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · อัลกอริทึมของ Kruskal

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Kruskal เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและเพิ่มเมื่อเชื่อมคนละส่วนประกอบ ส่วน Prim ขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น

คำตอบ

A · อัลกอริทึมของ Kruskal
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · สแตกการเรียก (call stack)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละการเรียก push เฟรมสแตกและแต่ละการคืนค่า pop ออก จึงเป็นเหตุที่การเรียกล่าสุดเสร็จก่อน

คำตอบ

C · สแตกการเรียก (call stack)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · preorder และ inorder

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Preorder ให้ราก และตำแหน่งของมันในลำดับ inorder แบ่งต้นไม้ย่อยซ้ายและขวา preorder กับ postorder ไม่ชัดเจนเมื่อโหนดมีลูกตัวเดียว

คำตอบ

B · preorder และ inorder
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 2520

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

คำตอบ

H = 2520
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 51

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

BD (4): เลือก
CE (5): เลือก
DE (6): เลือก
GD (7): เลือก
EF (9): เลือก
GB (10): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
DF (12): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
GC (16): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
GE (17): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
BC (18): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
AC (20): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 4 + 5 + 6 + 7 + 9 + 20 = 51

คำตอบ

W = 51

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms