โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n/2) + O(1) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เหตุใดการค้นหาแบบเปรียบเทียบใด ๆ ในอาร์เรย์ที่เรียงแล้วจึงต้องใช้ Ω(log n) การเปรียบเทียบในกรณีเลวร้ายที่สุด

  1. Aการค้นหาแบบทวิภาคเป็นอัลกอริทึมเดียวที่เป็นไปได้ และต้องใช้ log₂ n การเปรียบเทียบ
  2. Bต้นไม้ตัดสินใจที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ n แบบต้องมีความลึกอย่างน้อย log₂ n
  3. Cทุกสมาชิกต้องถูกเปรียบเทียบอย่างน้อยหนึ่งครั้ง
  4. Dการเปรียบเทียบแต่ละครั้งใช้เวลาแบบลอการิทึม
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

การค้นหาคำความยาว L ใน trie ที่มีตัวอักษรคงที่ใช้เวลาเท่าใด

  1. AO(n) เมื่อ n คือจำนวนคำ
  2. BO(L × n)
  3. CO(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ
  4. DO(log n) เมื่อ n คือจำนวนคำ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

การกลับลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวในที่เดิมมีต้นทุนด้านเวลาและพื้นที่เพิ่มเติมเท่าใด

  1. Aเวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(n)
  2. Bเวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
  3. Cเวลา O(1) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
  4. Dเวลา O(n log n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง
ABCDEFGวงจรออยเลอร์ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจรไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

กราฟเชื่อมโยงนี้มีวงจรออยเลอร์ ทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจร หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ให้คลิกคำตอบของคุณ

|V| = 7|E| = 12
  1. 1วงจรออยเลอร์
  2. 2ทางเดินออยเลอร์ ไม่มีวงจร
  3. 3ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDEF

มีวอล์กปิดความยาว 2 ที่เริ่มและจบที่ D กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โดยทฤษฎีบทหลัก nlog₂ 2 = n ครอบงำงานคงที่ จึงได้ T(n) = Θ(n) เช่น การหาค่ามากสุดโดยแบ่งครึ่งเรื่อย ๆ

คำตอบ

A · O(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · ต้นไม้ตัดสินใจที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ n แบบต้องมีความลึกอย่างน้อย log₂ n

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเปรียบเทียบแต่ละครั้งลดเซตความเป็นไปได้ที่เหลือลงอย่างมากที่สุดครึ่งหนึ่ง การแยกแยะ n ตำแหน่งจึงต้องใช้อย่างน้อย log₂ n การเปรียบเทียบ

คำตอบ

B · ต้นไม้ตัดสินใจที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ n แบบต้องมีความลึกอย่างน้อย log₂ n
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · O(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละอักขระเลือกลูกหนึ่งตัว การค้นหาจึงใช้ L ขั้นตอนไม่ว่า trie จะมีกี่คำ

คำตอบ

C · O(L) ไม่ขึ้นกับจำนวนคำที่เก็บ
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · เวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเก็บตัวชี้สามตัว (previous, current, next) ทำให้กลับแต่ละลิงก์ในรอบเดียวโดยไม่จัดสรรโหนดใหม่

คำตอบ

B · เวลา O(n) และพื้นที่เพิ่ม O(1)
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: วงจรออยเลอร์

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

ดีกรี

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

จุดยอดคี่

0
วงจรออยเลอร์

คำตอบ

วงจรออยเลอร์
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 2

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

เพื่อนบ้านร่วม

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 2

คำตอบ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms