โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ข้อใดเกี่ยวกับฟังก์ชันเรียกซ้ำที่ไม่มีกรณีฐานที่ไปถึงได้ถูกต้อง

  1. Aทำงานในเวลา O(1)
  2. Bเรียกตัวเองต่อไปจนสแต็กการเรียกล้น
  3. Cคอมไพเลอร์แปลงเป็นลูปที่จบอย่างปลอดภัยเสมอ
  4. Dคืนค่า 0 โดยอัตโนมัติ
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

การคำนวณจำนวนฟีโบนักชีตัวที่ n ด้วยลูปที่เก็บเพียงสองค่าล่าสุดมีต้นทุนด้านเวลาและพื้นที่เท่าใด

  1. Aเวลา O(n) และพื้นที่ O(1)
  2. Bเวลา O(2ⁿ) และพื้นที่ O(1)
  3. Cเวลา O(log n) และพื้นที่ O(n)
  4. Dเวลา O(n) และพื้นที่ O(n)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ในตารางแฮชที่ใช้ open addressing ตัวประกอบการโหลดสูงสุดที่เป็นไปได้คือเท่าใด

  1. A2
  2. B1
  3. C0.5
  4. Dไม่มีค่าสูงสุด
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

อัลกอริทึมของ Kahn สำหรับการเรียงทอพอโลยีลบจุดยอดที่มี in-degree 0 ซ้ำ ๆ โครงสร้างใดเก็บจุดยอดเหล่านั้น

  1. Aเมทริกซ์ประชิดที่บันทึกว่าจุดยอดใดถูกลบไปแล้ว
  2. Bคิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0
  3. Cสแตกของเส้นเชื่อมที่เยี่ยมทั้งหมด
  4. Dmax-heap เรียงตาม out-degree
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 20 จุดยอดและ 23 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 20|E| = 23
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
19817291214416ABCDEFG

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 7|E| = 9
W =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · เรียกตัวเองต่อไปจนสแต็กการเรียกล้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ถ้าไม่มีกรณีฐาน การเรียกซ้ำจะไม่หยุด ในทางปฏิบัติหน่วยความจำสำหรับเฟรมสแต็กหมดและโปรแกรมล่ม

คำตอบ

B · เรียกตัวเองต่อไปจนสแต็กการเรียกล้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · เวลา O(n) และพื้นที่ O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

แต่ละขั้นต้องการเพียงสองค่าก่อนหน้า ตารางของวิธีล่างขึ้นบนจึงแทนที่ด้วยตัวแปรสองตัวได้

คำตอบ

A · เวลา O(n) และพื้นที่ O(1)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · 1

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ด้วย open addressing ทุกคีย์ถูกเก็บในตารางเอง n จึงเกิน m ไม่ได้ ส่วน separate chaining มี load factor เกิน 1 ได้

คำตอบ

B · 1
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · คิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

จุดยอดที่พร้อมถูกเก็บในคิว การลบหนึ่งจุดลด in-degree ของข้างเคียง และตัวที่ถึง 0 ถูกเพิ่ม ได้เวลา O(V + E)

คำตอบ

B · คิว (หรือคอลเล็กชันใดก็ได้) ของจุดยอดที่มี in-degree เป็น 0
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 4

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

20 − 1 = 19

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 23 − 19 = 4

คำตอบ

k = 4
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 59

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

DE (2): เลือก
GD (4): เลือก
BD (8): เลือก
DF (9): เลือก
EF (12): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
GB (14): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
GE (16): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
CE (17): เลือก
AB (19): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 2 + 4 + 8 + 9 + 17 + 19 = 59

คำตอบ

W = 59

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms