โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาเฉลี่ยแบบกระจายต้นทุน (amortised) ของการต่อท้ายอาร์เรย์พลวัตที่เพิ่มความจุเป็นสองเท่าเมื่อเต็มคือเท่าใด

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

อัลกอริทึมใดหาต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุดโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่ถูกที่สุดซึ่งไม่ก่อวงจรซ้ำ ๆ

  1. Aอัลกอริทึมของ Prim ที่เริ่มจากโหนดเดียว
  2. Bอัลกอริทึมของ Dijkstra
  3. Cอัลกอริทึมของ Kruskal
  4. DFloyd–Warshall
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ในคิววงกลมที่เก็บในอาร์เรย์ความจุ n ตำแหน่งถัดจากดัชนี i คำนวณอย่างไร

  1. A(i + 1) mod n
  2. B2i + 1
  3. Ci + 1
  4. D(i − 1) mod n
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

โหนด AVL ไม่สมดุลเพราะต้นไม้ย่อยขวาของลูกซ้ายสูงเกินไป (กรณีซ้าย–ขวา) ใช้วิธีแก้ใด

  1. Aหมุนขวาที่ลูกซ้าย แล้วหมุนซ้ายที่โหนด
  2. Bหมุนซ้ายหนึ่งครั้งที่โหนด
  3. Cหมุนขวาหนึ่งครั้งที่โหนด
  4. Dหมุนซ้ายที่ลูกซ้าย แล้วหมุนขวาที่โหนด
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 3, 2 จุดยอดดีกรี 4 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 32 × deg 4
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
81421115131210314ABCDEFG

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 5 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การคัดลอกสมาชิกทั้งหมดเกิดขึ้นเฉพาะที่เลขกำลังสอง เมื่อกระจายต้นทุนตลอดทุกการต่อท้าย ค่าเฉลี่ยต่อหนึ่งครั้งจึงคงที่

คำตอบ

C · O(1)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · อัลกอริทึมของ Kruskal

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Kruskal เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและเพิ่มเมื่อเชื่อมคนละส่วนประกอบ ส่วน Prim ขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น

คำตอบ

C · อัลกอริทึมของ Kruskal
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · (i + 1) mod n

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การดำเนินการ modulo วนดัชนี n − 1 กลับเป็น 0 อาร์เรย์จึงถูกนำกลับมาใช้โดยไม่ต้องเลื่อนสมาชิก

คำตอบ

A · (i + 1) mod n
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · หมุนซ้ายที่ลูกซ้าย แล้วหมุนขวาที่โหนด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การหมุนครั้งแรกเปลี่ยนกรณีซ้าย–ขวาเป็นซ้าย–ซ้าย ซึ่งการหมุนขวาที่โหนดไม่สมดุลแก้ได้

คำตอบ

D · หมุนซ้ายที่ลูกซ้าย แล้วหมุนขวาที่โหนด
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 10

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 20 = 2(L + 6) − 2
L = 10

คำตอบ

L = 10

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: G

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 8, C: 14
2. B (8): C: 10, D: 9, G: 20
3. D (9): E: 14, F: 22, G: 12
4. C (10)
5. G (12)
6. E (14)
7. F (22)

รอบ 5

G

คำตอบ

G

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms