โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลแบบเรียกซ้ำง่าย ๆ fact(n) = n × fact(n − 1) ใช้พื้นที่สแต็กเท่าใด

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

กฎละโมบ "หยิบสิ่งของตามลำดับมูลค่าต่อน้ำหนัก" ให้คำตอบเหมาะสมที่สุดเสมอในปัญหา knapsack แบบใด

  1. Afractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้
  2. Bไม่ใช่ทั้งสองแบบ
  3. Cทั้งสองแบบ
  4. D0/1 knapsack ซึ่งต้องหยิบสิ่งของทั้งชิ้นเสมอ
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ในตารางแฮชที่ใช้ open addressing ตัวประกอบการโหลดสูงสุดที่เป็นไปได้คือเท่าใด

  1. A2
  2. B1
  3. Cไม่มีค่าสูงสุด
  4. D0.5
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

คุณต้องเก็บค่าที่น้อยที่สุด k ตัวจากสตรีมของตัวเลข n ตัวโดยใช้หน่วยความจำ O(k) แนวทางใดทำงานใน O(n log k)

  1. Aคิว FIFO ของ k ค่าล่าสุด
  2. Bmin-heap ที่เก็บค่าทั้ง n ตัว แล้วดึงค่าที่น้อยที่สุด k ตัวออกมาตอนท้าย
  3. Cmax-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา
  4. Dอาร์เรย์เรียงลำดับของค่าทั้ง n
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K6 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K6
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
117333511215ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเรียกซ้ำลึก n ชั้นก่อนจะมีการคืนค่าใด ๆ และแต่ละการเรียกต้องมีเฟรมสแต็ก จึงใช้พื้นที่ O(n)

คำตอบ

C · O(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · fractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมื่อแบ่งสิ่งของได้ การเลือกอัตราส่วนดีที่สุดก่อนเหมาะสมที่สุด ใน 0/1 knapsack สิ่งของอัตราส่วนสูงอาจขวางชุดที่ดีกว่า จึงต้องใช้การโปรแกรมพลวัต

คำตอบ

A · fractional knapsack ซึ่งแบ่งสิ่งของได้
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · 1

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ด้วย open addressing ทุกคีย์ถูกเก็บในตารางเอง n จึงเกิน m ไม่ได้ ส่วน separate chaining มี load factor เกิน 1 ได้

คำตอบ

B · 1
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · max-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

รากของ max-heap คือค่าที่ใหญ่ที่สุดที่เก็บไว้ ค่าใหม่ที่เล็กกว่าแทนที่มันใน O(log k) ฮีปจึงเก็บ k ค่าที่น้อยที่สุดจนถึงขณะนั้นเสมอ

คำตอบ

C · max-heap ขนาด k โดยแทนที่รากเมื่อมีค่าที่เล็กกว่ามา
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 60

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

คำตอบ

H = 60
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 18

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 11, C: 7
C (7): E: 10
E (10): D: 13, G: 25
B (11): G: 12
G (12)
D (13): F: 18
F (18)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E → D → F
d(F) = 18

คำตอบ

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms