โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ในอาร์เรย์ที่เรียงแล้ว คุณหาสองสมาชิกที่ผลรวมเท่ากับเป้าหมายโดยเลื่อนตัวชี้จากแต่ละปลายเข้าหากัน ความซับซ้อนเชิงเวลาคือเท่าใด

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีผู้พบอัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหา NP-complete หนึ่งข้อ

  1. Aอัลกอริทึมเวลาเอกซ์โพเนนเชียลทั้งหมดจะทำงานในเวลาเชิงเส้นทันที
  2. Bปัญหาการหยุดจะตัดสินได้
  3. Cเฉพาะปัญหานั้นปัญหาเดียวที่ย้ายเข้า P
  4. Dทุกปัญหาใน NP แก้ได้ในเวลาพหุนาม ดังนั้น P = NP
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

หาคีย์ที่น้อยที่สุดใน binary search tree ได้อย่างไร

  1. Aเยี่ยมทุกใบและเปรียบเทียบกัน
  2. Bดูเฉพาะราก
  3. Cตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย
  4. Dตามลูกขวาจากรากจนไม่มีลูกขวา
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ข้อใดเกี่ยวกับ heapsort ถูกต้อง

  1. Aต้องใช้ binary search tree เป็นที่เก็บเพิ่มเติม จึงใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(n)
  2. Bทำงานใน O(n) กับอินพุตใด ๆ
  3. Cเสถียรและต้องใช้หน่วยความจำเพิ่ม O(n)
  4. Dเรียงในที่เดิมใน O(n log n) กรณีเลวร้ายที่สุด แต่ไม่เสถียร
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 3 จุดยอดดีกรี 4, 3 จุดยอดดีกรี 5 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

3 × deg 43 × deg 5
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
311111011109ABCDEF

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · O(n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ถ้าผลรวมน้อยเกินไปตัวชี้ซ้ายเลื่อนไปขวา ถ้ามากเกินไปตัวชี้ขวาเลื่อนไปซ้าย จึงมีไม่เกิน n ขั้น

คำตอบ

C · O(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ทุกปัญหาใน NP แก้ได้ในเวลาพหุนาม ดังนั้น P = NP

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เนื่องจากทั้ง NP ลดรูปมาเป็นปัญหา NP-complete ใด ๆ ได้ในเวลาพหุนาม อัลกอริทึมเร็วสำหรับข้อหนึ่งจึงให้อัลกอริทึมเร็วสำหรับทั้งหมด

คำตอบ

D · ทุกปัญหาใน NP แก้ได้ในเวลาพหุนาม ดังนั้น P = NP
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · ตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โหนดซ้ายสุดไม่มีคีย์ที่เล็กกว่าในต้นไม้ จึงเป็นค่าต่ำสุด ต้นทุนแปรผันตามความสูง

คำตอบ

C · ตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · เรียงในที่เดิมใน O(n log n) กรณีเลวร้ายที่สุด แต่ไม่เสถียร

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Heapsort สร้าง max-heap และดึงค่าสูงสุดออก n ครั้งภายในอาร์เรย์เดียวกัน การสลับระยะไกลอาจจัดเรียงคีย์ที่เท่ากันใหม่

คำตอบ

D · เรียงในที่เดิมใน O(n log n) กรณีเลวร้ายที่สุด แต่ไม่เสถียร
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 17

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 27 = 2(L + 6) − 2
L = 17

คำตอบ

L = 17

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 23

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 3, C: 1
C (1): B: 2, E: 11
B (2): D: 13
E (11)
D (13): F: 23
F (23)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → B → D → F
d(F) = 23

คำตอบ

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms