โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การกล่าวว่าอัลกอริทึม O(n²) เป็น O(n³) ด้วย ถูกต้องหรือไม่

  1. Aไม่ถูก เพราะ Big O ต้องระบุอัตราการเติบโตที่แน่นอนของฟังก์ชันเสมอ
  2. Bถูกต้อง แต่เฉพาะเมื่อ n น้อยกว่า 100
  3. Cไม่ถูก เพราะ n³ น้อยกว่า n² เมื่อ n มาก
  4. Dถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

อัลกอริทึม Bellman–Ford ตรวจจับวงจรน้ำหนักติดลบที่ไปถึงได้จากต้นทางอย่างไร

  1. Aรัน Dijkstra สองครั้งแล้วเปรียบเทียบผลระยะทางทั้งสองชุด
  2. Bนับวงจรด้วยการค้นหาในแนวลึก
  3. Cตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดมีน้ำหนักติดลบหรือไม่
  4. Dหลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

ข้อใดเป็นจริงเกี่ยวกับเมทริกซ์ประชิดของกราฟไม่มีทิศทาง

  1. Aแต่ละแถวมี 1 เพียงตัวเดียวพอดี
  2. Bเส้นทแยงมุมหลักมีเลขหนึ่งเสมอ
  3. Cสมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลัก
  4. Dเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเสมอ
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

สำหรับแต่ละสมาชิกของอาร์เรย์ คุณต้องการสมาชิกที่ใหญ่กว่าถัดไปทางขวา ในเวลารวม O(n) โครงสร้างใดช่วยได้

  1. Aสแตกที่เก็บสมาชิกที่รอคำตอบ
  2. Bคิวที่เก็บทุกคู่ของสมาชิก
  3. Cbinary search tree ที่สร้างใหม่สำหรับแต่ละสมาชิก
  4. Dตารางแฮชของสมาชิกทั้งหมด
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K8 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K8
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDE

มีวอล์กความยาว 2 จาก C ไป A กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Big O เป็นขอบเขตบน ข้อความนี้จึงจริงแต่ไม่แน่น ส่วน Θ(n²) ระบุอัตราการเติบโตที่แน่นอน

คำตอบ

D · ถูกต้อง เพราะ Big O เป็นขอบเขตบน และ n² เติบโตไม่เร็วกว่า n³
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · หลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ระยะทางสั้นที่สุดจริงทั้งหมดพบภายใน V − 1 รอบ ถ้ายังปรับปรุงเส้นเชื่อมใดได้อีก ต้องมีวงจรติดลบ

คำตอบ

D · หลัง V − 1 รอบ ตรวจว่ามีเส้นเชื่อมใดที่ยังผ่อนคลายได้อีกหรือไม่
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · สมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลัก

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ในกราฟไม่มีทิศทาง เส้นเชื่อม {u, v} หมายความว่าทั้ง M[u][v] และ M[v][u] ถูกตั้งค่า เมทริกซ์จึงเท่ากับทรานสโพสของมัน

คำตอบ

C · สมมาตรเทียบกับเส้นทแยงมุมหลัก
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · สแตกที่เก็บสมาชิกที่รอคำตอบ

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

สแกนจากซ้ายไปขวา pop ทุกสมาชิกบนสแตกที่เล็กกว่าตัวปัจจุบัน (ตัวปัจจุบันคือคำตอบของพวกมัน) แล้ว push ตัวปัจจุบัน แต่ละสมาชิกเคลื่อนไม่เกินสองครั้ง

คำตอบ

A · สแตกที่เก็บสมาชิกที่รอคำตอบ
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 2520

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

คำตอบ

H = 2520
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 1

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

เพื่อนบ้านร่วม

(M²)CA = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 1·0 = 1

คำตอบ

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms