โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

การค้นหาในแนวกว้าง (BFS) บนกราฟที่ไม่มีน้ำหนักให้ผลเป็น

  1. Aลำดับทอพอโลยีในทุกกราฟ
  2. Bเส้นทางสั้นที่สุดในกราฟที่มีเส้นเชื่อมน้ำหนักติดลบ
  3. Cต้นไม้ทอดข้ามที่น้อยที่สุด
  4. Dเส้นทางสั้นที่สุดในแง่จำนวนเส้นเชื่อมจากโหนดเริ่มต้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ข้อใดเกี่ยวกับการเลือกสมาชิกที่เล็กที่สุดอันดับที่ k ของอาร์เรย์ที่ไม่เรียงลำดับถูกต้อง

  1. Aการเลือกทำได้ใน O(n²) เท่านั้น
  2. Bการเลือกต้องใช้ Ω(n log n) เสมอเพราะต้องเรียงลำดับ
  3. CQuickselect ทำงานใน O(n) คาดหมาย และ median-of-medians รับประกัน O(n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด
  4. DQuickselect ทำงานใน O(log n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด เพราะเรียกซ้ำเพียงฝั่งเดียวของตัวหมุน
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อตารางแฮช rehash หลังตัวประกอบการโหลดเกินเกณฑ์

  1. Aคีย์ที่มีอยู่ถูกเรียงในที่เดิม
  2. Bจัดสรรตารางใหม่ที่ใหญ่กว่าและแทรกทุกคีย์ใหม่
  3. Cย้ายเฉพาะคีย์ที่ชนกันไปยังลิสต์ล้นใหม่ที่ท้ายตาราง
  4. Dคีย์เก่าที่สุดถูกลบเพื่อให้มีที่ว่าง
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

ภายใต้การแฮชสม่ำเสมออย่างง่าย เวลาคาดหมายของการค้นหาในตารางแฮชแบบ chaining ที่มี n คีย์และ m ถังคือเท่าใด

  1. AO(m)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1 + α) เมื่อ α = n / m
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 17 จุดยอดและ 24 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 17|E| = 24
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
6124241511125ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 3 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · เส้นทางสั้นที่สุดในแง่จำนวนเส้นเชื่อมจากโหนดเริ่มต้น

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

BFS เยี่ยมโหนดตามลำดับระยะทาง (จำนวนเส้นเชื่อม) จากต้นทาง จึงหาเส้นทางสั้นที่สุดแบบไม่มีน้ำหนักได้ใน O(V + E)

คำตอบ

D · เส้นทางสั้นที่สุดในแง่จำนวนเส้นเชื่อมจากโหนดเริ่มต้น
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · Quickselect ทำงานใน O(n) คาดหมาย และ median-of-medians รับประกัน O(n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

งานคาดหมายของ Quickselect คือ n + n/2 + n/4 + ... = O(n) เมื่อสุ่มตัวหลัก การเลือกตัวหลักด้วย median of medians ทำให้กรณีเลวร้ายที่สุดเป็นเชิงเส้น

คำตอบ

C · Quickselect ทำงานใน O(n) คาดหมาย และ median-of-medians รับประกัน O(n) ในกรณีเลวร้ายที่สุด
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · จัดสรรตารางใหม่ที่ใหญ่กว่าและแทรกทุกคีย์ใหม่

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เนื่องจากดัชนีคำนวณแบบ modulo ขนาดตาราง ทุกคีย์ต้องถูกแฮชใหม่ลงตารางที่ใหญ่ขึ้น เมื่อเพิ่มเป็นสองเท่า ยังคงเป็น O(1) แบบกระจายต้นทุน

คำตอบ

B · จัดสรรตารางใหม่ที่ใหญ่กว่าและแทรกทุกคีย์ใหม่
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · O(1 + α) เมื่อ α = n / m

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การคำนวณแฮชมีต้นทุน O(1) และความยาวโซ่คาดหมายคือ α การรักษา α ให้มีขอบเขตด้วยการปรับขนาดจึงได้เวลาคาดหมาย O(1)

คำตอบ

D · O(1 + α) เมื่อ α = n / m
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 8

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

17 − 1 = 16

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 24 − 16 = 8

คำตอบ

k = 8
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: D

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 6, C: 12
2. B (6): C: 10, D: 8, E: 11
3. D (8): F: 19
4. C (10)
5. E (11)
6. F (19)

รอบ 3

D

คำตอบ

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms