โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = T(n − 1) + O(n) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เหตุใดการค้นหาแบบทวิภาคจึงไม่ให้เวลา O(log n) บนรายการเชื่อมโยงเดี่ยว

  1. Aการเปรียบเทียบบนโหนดของรายการเชื่อมโยงช้ากว่า
  2. Bการไปถึงสมาชิกตรงกลางใช้ O(n) ขั้นตอน เพราะเข้าถึงด้วยดัชนีโดยตรงไม่ได้
  3. Cการค้นหาแบบทวิภาคต้องใช้หน่วยความจำอย่างน้อยสองเท่า
  4. Dรายการเชื่อมโยงเรียงลำดับไม่ได้
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

นิพจน์ postfix 3 4 + 2 * มีค่าเท่าใด

  1. A11
  2. B10
  3. C14
  4. D24
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

โครงสร้างใดช่วยคำนวณค่าสูงสุดของทุกหน้าต่างขนาด k ในอาร์เรย์ในเวลารวม O(n)

  1. Aอาร์เรย์เรียงลำดับที่อัปเดตด้วยการเลื่อน
  2. Bลิงก์ลิสต์เชิงเดี่ยวของสมาชิกในหน้าต่าง
  3. Cdeque ที่เก็บดัชนีเรียงตามค่าจากมากไปน้อย
  4. Dmin-heap ที่สร้างใหม่ทุกหน้าต่าง
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 3 จุดยอดดีกรี 3, 4 จุดยอดดีกรี 4, 3 จุดยอดดีกรี 5, 4 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

3 × deg 34 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
2914111051414ABCDEF

ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเริ่มจาก A ให้คลิกจุดยอดที่ถูกยืนยัน (ทำให้เป็นค่าถาวร) ในรอบที่ 4 โดย A เองคือรอบที่ 1

เริ่มต้น: Aรอบ 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · O(n²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

งานรวมได้ประมาณ n² / 2 ซึ่งเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดของ selection sort หรือของ quicksort เมื่อเลือกตัวหลักแย่ที่สุด

คำตอบ

D · O(n²)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · การไปถึงสมาชิกตรงกลางใช้ O(n) ขั้นตอน เพราะเข้าถึงด้วยดัชนีโดยตรงไม่ได้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การค้นหาแบบทวิภาคต้องเข้าถึงสมาชิกตรงกลางใน O(1) บนรายการเชื่อมโยงการเดินไปถึงต้องใช้เวลาเชิงเส้น ผลรวมจึงเป็น O(n)

คำตอบ

B · การไปถึงสมาชิกตรงกลางใช้ O(n) ขั้นตอน เพราะเข้าถึงด้วยดัชนีโดยตรงไม่ได้
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · 14

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

push 3 และ 4, + ได้ 7; push 2, * ได้ 7 × 2 = 14

คำตอบ

C · 14
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · deque ที่เก็บดัชนีเรียงตามค่าจากมากไปน้อย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ด้านหน้าของ deque คือค่าสูงสุดของหน้าต่างเสมอ แต่ละดัชนีเข้าและออกจาก deque เพียงครั้งเดียว งานจึงเป็นเชิงเส้น

คำตอบ

C · deque ที่เก็บดัชนีเรียงตามค่าจากมากไปน้อย
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 22

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 48 = 2(L + 14) − 2
L = 22

คำตอบ

L = 22

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: D

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

1. A (0): B: 2, C: 9
2. B (2): D: 13, E: 16
3. C (9)
4. D (13)
5. E (16): F: 30
6. F (30)

รอบ 4

D

คำตอบ

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms