โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความซับซ้อนเชิงเวลาเฉลี่ยแบบกระจายต้นทุน (amortised) ของการต่อท้ายอาร์เรย์พลวัตที่เพิ่มความจุเป็นสองเท่าเมื่อเต็มคือเท่าใด

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

ความซับซ้อนเชิงเวลาของ for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) ทำงาน O(1) คือเท่าใด

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n √n)
  4. DO(n)
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

หาคีย์ที่น้อยที่สุดใน binary search tree ได้อย่างไร

  1. Aตามลูกขวาจากรากจนไม่มีลูกขวา
  2. Bดูเฉพาะราก
  3. Cเยี่ยมทุกใบและเปรียบเทียบกัน
  4. Dตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

อาร์เรย์พลวัตเพิ่มเป็นสองเท่าเมื่อเต็ม เหตุใดหลายการสร้างจึงหดมันเมื่อเหลือเพียงหนึ่งในสี่เท่านั้น ไม่ใช่ครึ่งหนึ่ง

  1. Aเพื่อให้อาร์เรย์เรียงลำดับ
  2. Bเพราะการหดที่ครึ่งหนึ่งทำให้สมาชิกหาย
  3. Cเพื่อหลีกเลี่ยงการปรับขนาดซ้ำเมื่อ push และ pop สลับกันใกล้ขอบเขต
  4. Dเพราะตัวจัดสรรหน่วยความจำคืนหน่วยความจำได้เฉพาะเป็นหนึ่งในสี่ของบล็อกเท่านั้น
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 4 จุดยอดดีกรี 4 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

4 × deg 4
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
1561213111012147ABCDEFG

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(F) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป F ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: F
d(F) =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(1)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การคัดลอกสมาชิกทั้งหมดเกิดขึ้นเฉพาะที่เลขกำลังสอง เมื่อกระจายต้นทุนตลอดทุกการต่อท้าย ค่าเฉลี่ยต่อหนึ่งครั้งจึงคงที่

คำตอบ

A · O(1)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · O(n log n)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ผลรวมคือ n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn และจำนวนฮาร์มอนิก Hn เป็น Θ(log n)

คำตอบ

A · O(n log n)
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: D · ตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

โหนดซ้ายสุดไม่มีคีย์ที่เล็กกว่าในต้นไม้ จึงเป็นค่าต่ำสุด ต้นทุนแปรผันตามความสูง

คำตอบ

D · ตามลูกซ้ายจากรากจนไม่มีลูกซ้าย
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · เพื่อหลีกเลี่ยงการปรับขนาดซ้ำเมื่อ push และ pop สลับกันใกล้ขอบเขต

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การหดที่ครึ่งหนึ่งอาจกระตุ้นการปรับขนาดทุกการดำเนินการในลำดับเช่นนั้น ช่องว่างระหว่าง 1/4 กับเต็มรักษาต้นทุนกระจายเป็น O(1)

คำตอบ

C · เพื่อหลีกเลี่ยงการปรับขนาดซ้ำเมื่อ push และ pop สลับกันใกล้ขอบเขต
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 10

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

คำตอบ

L = 10

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(F) = 31

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): B: 15, C: 6
C (6): E: 19
B (15): G: 29
E (19): D: 30, F: 31
G (29)
D (30)
F (31)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E → F
d(F) = 31

คำตอบ

d(F) = 31

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms