โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ความสัมพันธ์เวียนเกิด T(n) = 2T(n − 1) + O(1) มีผลเฉลยเป็นเท่าใด

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เหตุใดอัลกอริทึมของ Dijkstra จึงอาจให้ผลผิดเมื่อน้ำหนักเส้นเชื่อมบางเส้นติดลบ

  1. Aเข้าสู่ลูปไม่สิ้นสุดทุกครั้งที่พบเส้นเชื่อมติดลบ
  2. Bตัวเลขติดลบเก็บในคิวลำดับความสำคัญไม่ได้
  3. Cจุดยอดถูกตรึงค่าเมื่อถูกดึงออก แต่เส้นเชื่อมติดลบที่มาทีหลังอาจให้เส้นทางที่สั้นกว่าแก่มัน
  4. Dใช้ได้กับกราฟไม่มีทิศทางเท่านั้น
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

เมทริกซ์ประชิด (adjacency matrix) ของกราฟที่มี V จุดยอดใช้หน่วยความจำเท่าใด

  1. AO(E)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(log V)
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

Fenwick tree (binary indexed tree) บนอาร์เรย์ที่มีตัวเลข n ตัว รองรับการดำเนินการใดใน O(log n)

  1. Aการแทรกสมาชิกที่ตำแหน่งใดก็ได้
  2. Bการหามัธยฐานใน O(1)
  3. Cคำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว
  4. Dการเรียงอาร์เรย์และการค้นหาแบบทวิภาค
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K5 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K5
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDE

มีวอล์กความยาว 3 จาก B ไป C กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 3
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: B · O(2ⁿ)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

จำนวนการเรียกเพิ่มเป็นสองเท่าในแต่ละระดับและมี n ระดับ ผลรวมจึงประมาณ 2ⁿ เช่นเดียวกับหอคอยฮานอย

คำตอบ

B · O(2ⁿ)
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: C · จุดยอดถูกตรึงค่าเมื่อถูกดึงออก แต่เส้นเชื่อมติดลบที่มาทีหลังอาจให้เส้นทางที่สั้นกว่าแก่มัน

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

ขั้นตอนละโมบพึ่งพาน้ำหนักที่ไม่เป็นลบเพื่อให้ระยะทางที่ดึงออกเป็นค่าสุดท้าย เมื่อน้ำหนักอาจติดลบให้ใช้ Bellman–Ford

คำตอบ

C · จุดยอดถูกตรึงค่าเมื่อถูกดึงออก แต่เส้นเชื่อมติดลบที่มาทีหลังอาจให้เส้นทางที่สั้นกว่าแก่มัน
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: B · O(V²)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

เมทริกซ์ประชิดเก็บ V × V ช่อง มีประสิทธิภาพสำหรับกราฟหนาแน่น ส่วนรายการประชิดใช้ O(V + E) ดีกว่าสำหรับกราฟเบาบาง

คำตอบ

B · O(V²)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: C · คำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Fenwick tree เก็บผลรวมบางส่วนของช่วงที่กำหนดโดยบิตต่ำของแต่ละดัชนี ทั้งผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตจุดจึงใช้ O(log n)

คำตอบ

C · คำถามผลรวมคำนำหน้าและการอัปเดตสมาชิกเดียว
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 12

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

คำตอบ

H = 12
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 6

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

อีกหนึ่งก้าว

(M³)BC = 1·1 + 3·1 + 1·0 + 0·0 + 2·1 = 6

คำตอบ

N = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms