โครงสร้างข้อมูลและอัลกอริทึม: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 6 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

2โจทย์ฝึก

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อนปานกลาง

ในปัญหาการเลือกกิจกรรม กฎละโมบข้อใดให้จำนวนกิจกรรมที่ไม่ทับซ้อนกันมากที่สุดเสมอ

  1. Aเลือกกิจกรรมที่เสร็จเร็วที่สุด แล้วทำซ้ำกับกิจกรรมที่เข้ากันได้
  2. Bเลือกกิจกรรมที่ทับซ้อนกับผู้อื่นน้อยที่สุดก่อน แล้วทำซ้ำกับกิจกรรมที่เข้ากันได้
  3. Cเลือกกิจกรรมที่สั้นที่สุดก่อน
  4. Dเลือกกิจกรรมที่เริ่มเร็วที่สุด
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อนยาก

เหตุใดการค้นหาแบบเปรียบเทียบใด ๆ ในอาร์เรย์ที่เรียงแล้วจึงต้องใช้ Ω(log n) การเปรียบเทียบในกรณีเลวร้ายที่สุด

  1. Aการค้นหาแบบทวิภาคเป็นอัลกอริทึมเดียวที่เป็นไปได้ และต้องใช้ log₂ n การเปรียบเทียบ
  2. Bทุกสมาชิกต้องถูกเปรียบเทียบอย่างน้อยหนึ่งครั้ง
  3. Cการเปรียบเทียบแต่ละครั้งใช้เวลาแบบลอการิทึม
  4. Dต้นไม้ตัดสินใจที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ n แบบต้องมีความลึกอย่างน้อย log₂ n
3.โครงสร้างข้อมูลปานกลาง

อัลกอริทึมของ Dijkstra ใช้ชนิดข้อมูลนามธรรมใดเลือกจุดยอดถัดไปที่จะประมวลผล

  1. Aคิวลำดับความสำคัญแบบค่าต่ำสุด (min-priority queue)
  2. Bสแตก
  3. Cเซตที่ไม่มีลำดับ
  4. Dคิว FIFO
4.โครงสร้างข้อมูลยาก

เหตุใดจึงใช้ B-tree ในฐานข้อมูลและระบบไฟล์

  1. Aตัวประกอบการแตกแขนงสูงทำให้ต้นไม้ตื้น ลดการอ่านดิสก์ที่ช้า
  2. Bไม่ต้องปรับสมดุลใหม่
  3. Cเก็บข้อมูลโดยไม่เรียงลำดับ
  4. Dใช้หน่วยความจำน้อยกว่าอาร์เรย์ใด ๆ ดัชนีทั้งหมดจึงเก็บในหน่วยความจำหลักได้เสมอ
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K8 มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K8
H =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDE

มีวอล์กปิดความยาว 2 ที่เริ่มและจบที่ C กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2
N =

3สารละลาย

1.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: A · เลือกกิจกรรมที่เสร็จเร็วที่สุด แล้วทำซ้ำกับกิจกรรมที่เข้ากันได้

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเลือกเวลาเสร็จที่เร็วที่สุดพิสูจน์ได้ว่าเหมาะสมที่สุดด้วยข้อโต้แย้งการแลกเปลี่ยน ส่วนกฎอื่นมีตัวอย่างค้าน

คำตอบ

A · เลือกกิจกรรมที่เสร็จเร็วที่สุด แล้วทำซ้ำกับกิจกรรมที่เข้ากันได้
2.อัลกอริทึมและความซับซ้อน

คำตอบ: D · ต้นไม้ตัดสินใจที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ n แบบต้องมีความลึกอย่างน้อย log₂ n

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

การเปรียบเทียบแต่ละครั้งลดเซตความเป็นไปได้ที่เหลือลงอย่างมากที่สุดครึ่งหนึ่ง การแยกแยะ n ตำแหน่งจึงต้องใช้อย่างน้อย log₂ n การเปรียบเทียบ

คำตอบ

D · ต้นไม้ตัดสินใจที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ n แบบต้องมีความลึกอย่างน้อย log₂ n
3.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · คิวลำดับความสำคัญแบบค่าต่ำสุด (min-priority queue)

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

Min-priority queue ซึ่งมักเป็นฮีปทวิภาค คืนจุดยอดที่ยังไม่เยี่ยมที่มีระยะทางน้อยที่สุดได้อย่างมีประสิทธิภาพ

คำตอบ

A · คิวลำดับความสำคัญแบบค่าต่ำสุด (min-priority queue)
4.โครงสร้างข้อมูล

คำตอบ: A · ตัวประกอบการแตกแขนงสูงทำให้ต้นไม้ตื้น ลดการอ่านดิสก์ที่ช้า

เหตุผลที่เป็นคำตอบนี้

B-tree เก็บหลายคีย์ต่อโหนด ความสูงจึงน้อยและใช้การอ่านบล็อกไม่กี่ครั้งต่อการค้นหา B+ tree ยังเชื่อมใบเพื่อสแกนช่วง

คำตอบ

A · ตัวประกอบการแตกแขนงสูงทำให้ต้นไม้ตื้น ลดการอ่านดิสก์ที่ช้า
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 2520

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

คำตอบ

H = 2520
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 2

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

เพื่อนบ้านร่วม

(M²)CC = 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

คำตอบ

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms