สมการเชิงอนุพันธ์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

วิธีเชิงตัวเลข

วิธีแบ่งครึ่ง: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
นิวตัน–ราฟสัน: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมู: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
ออยเลอร์: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ฮอยน์: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

วิธีการ

สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ

2โจทย์ฝึก

1.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

กาแฟหนึ่งถ้วยอุณหภูมิ 95 °C วางไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 23 °C หลังผ่านไป 11 min อุณหภูมิเท่ากับ 75 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 85 °C

T₀ = 95 °CT_a = 23 °CT(11) = 75 °CT = 85 °C

t = min

2.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

จงแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น y′ + 3y/x = 3 สำหรับ x > 0 โดย y(1) = 3 จงหา y(3)

y′ + 3y/x = 3y(1) = 3

y(3) =

3.อินทิกรัลปานกลาง

จงหาค่าของ I = ∫₀^π x·cos x dx (x ในหน่วยเรเดียน)

∫₀^π x·cos x dx

I =

4.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 2x² และ y = 4x

y = 2x²y = 4x

A =

5.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = (3x + 1)⁵ หา f′(−1)

f(x) = (3x + 1)⁵x = −1

f′(−1) =

6.อนุพันธ์ยาก

เส้นสัมผัสของ f(x) = 3x² − 2x + 2 ที่ x = −2 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = 3x² − 2x + 2x = −2

b =

7.วิธีเชิงตัวเลขปานกลาง

วัดอัตราเร็วของยานพาหนะทุก 10 s (ตาราง) จงประมาณระยะทาง s ที่เดินทางจาก t = 0 ถึง t = 50 s ด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมู

h = 10 sn = 5

s = m

8.วิธีเชิงตัวเลขยาก

ทำหนึ่งขั้นของวิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) ด้วย h = 0.1 สำหรับ y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0.5 จงหา y₁ ≈ y(0.1)

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0.5h = 0.1

y₁ =

3สารละลาย

1.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: t = 5.055 min

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ค่าคงที่การเย็นตัว

k = ln(72/52)/11 = 0.02958 min⁻¹

เวลาที่ถึงเป้าหมาย

t = ln(72/62)/0.02958 = 5.055 min

คำตอบ

t = 5.055 min

2.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(3) = 2.333

ตัวประกอบอินทิเกรต

μ = e^{∫3/x dx} = x³

อินทิเกรต

(x³y)′ = 3x³ → x³y = 3x⁴/4 + C

เงื่อนไขเริ่มต้น

3 = 3/4 + C → C = 2.25

คำนวณค่า

y(3) = (3·3⁴/4 + 2.25)/3³ = 2.333

คำตอบ

y(3) = 2.333

3.อินทิกรัล

คำตอบ: I = −2

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

เลือก u และ dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

ปฏิยานุพันธ์

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

ลิมิต

(π·sin π + cos π) − (0 + 1) = −2

คำตอบ

I = −2

4.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 2.667

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

จุดตัด

2x² = 4x → x = 0, x = 2

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [2x² − 0.6667x³]₀² = 2.667

คำตอบ

A = 2.667

5.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(−1) = 240

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่

f′(x) = 5·(3x + 1)⁴·3

แทนค่า

f′(−1) = 5·(−2)⁴·3 = 240

คำตอบ

f′(−1) = 240

6.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −10

จุดและความชัน

f(−2) = 18

f′(x) = 6x − 2 → f′(−2) = −14

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 18 − (−14)·(−2) = −10

คำตอบ

b = −10

7.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: s = 315 m

การอินทิเกรตเชิงตัวเลข: แบ่ง [a, b] เป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀ … xₙ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ] กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ] ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² (ขอบเขต (b − a)h²·M/12 โดย M = max|f″|) ของซิมป์สันเหมือน h⁴ ดังนั้นซิมป์สันมักแม่นยำกว่ามากสำหรับจุดต่อเท่ากัน

ผลรวมถ่วงน้ำหนัก

0 + 2·5 + 2·10 + 2·8 + 2·6 + 5 = 63

กฎสี่เหลี่ยมคางหมู

s = (10/2)·63 = 315 m

คำตอบ

s = 315 m

8.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: y₁ = 0.6028

คำตอบเชิงตัวเลขของ y′ = f(t, y): วิธีออยเลอร์เดินตามความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) เฉลี่ยความชันที่จุดเริ่มต้นและที่ค่าทำนายของออยเลอร์: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂) วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) รวมสี่ความชัน: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) ความคลาดเคลื่อนรวมของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² ของ RK4 กับ h⁴

สี่ความชัน

k₁ = f(0, 0.5) = 1

k₂ = f(0.05, 0.55) = 1.027497

k₃ = f(0.05, 0.551375) = 1.027565

k₄ = f(0.1, 0.602757) = 1.060239

รวมกัน

y₁ = 0.5 + (0.1/6)(1 + 2·1.027497 + 2·1.027565 + 1.060239) = 0.6028

คำตอบ

y₁ = 0.6028

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations