สมการเชิงอนุพันธ์
- การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- ครึ่งชีวิต
- k = ln 2 / t½
- กฎการเย็นตัวของนิวตัน
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- ตัวประกอบอินทิเกรต
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- ถังผสม
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
สมการเชิงอนุพันธ์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
อินทิกรัล
- กฎกำลัง
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- อินทิกรัลจำกัดเขต
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- อินทิกรัลที่พบบ่อย
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
- ∫ab (f − g) dx
วิธีการ
- เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
- ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ ex, 1/x, sin และ cos
- ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
- สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)
อนุพันธ์
- กฎกำลัง
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- กฎผลคูณ
- (uv)′ = u′v + uv′
- กฎผลหาร
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- กฎลูกโซ่
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- อนุพันธ์ที่พบบ่อย
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
วิธีการ
- ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
- ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
- ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
- ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม
วิธีเชิงตัวเลข
- วิธีแบ่งครึ่ง
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- นิวตัน–ราฟสัน
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- กฎสี่เหลี่ยมคางหมู
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมู
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- ออยเลอร์
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- ฮอยน์
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
วิธีการ
- สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
- สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
- สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
- สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ
2โจทย์ฝึก
1.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง
น้ำอัดลมหนึ่งกระป๋องอุณหภูมิ 6 °C ถูกนำออกจากตู้เย็นมาไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 22 °C หลังผ่านไป 20 min อุณหภูมิเท่ากับ 15 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 11 °C
T0 = 6 °CTa = 22 °CT(20) = 15 °CT = 11 °C
t = min
2.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก
จงแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น y′ + y/x = 1 สำหรับ x > 0 โดย y(1) = 3 จงหา y(2)
y′ + y/x = 1y(1) = 3
y(2) =
3.อินทิกรัลปานกลาง
จงหาค่าของ I = ∫₀2 x·sin x dx (x ในหน่วยเรเดียน)
∫₀2 x·sin x dx
I =
4.อินทิกรัลยาก
บริเวณระหว่างเส้นตรง y = 6x กับพาราโบลา y = 3x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง
y = 6xy = 3x²
V =
5.อนุพันธ์ปานกลาง
ให้ f(x) = x·sin(3x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(0.5)
f(x) = x·sin(3x)x = 0.5 rad
f′(0.5) =
6.อนุพันธ์ยาก
ให้ f(x) = x3 − 13.5x2 + 54x + 1 หาพิกัด x x ของจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
f(x) = x3 − 13.5x2 + 54x + 1
x =
7.วิธีเชิงตัวเลขปานกลาง
วัดอัตราเร็วของยานพาหนะทุก 2 s (ตาราง) จงประมาณระยะทาง s ที่เดินทางจาก t = 0 ถึง t = 8 s ด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมู
h = 2 sn = 4
s = m
8.วิธีเชิงตัวเลขยาก
ใช้วิธีออยเลอร์ด้วย h = 0.25 สำหรับ y′ = −0.5y, y(0) = 2 เพื่อประมาณ y4 ≈ y(1)
y′ = −0.5yy(0) = 2h = 0.25
y4 =
3สารละลาย
1.สมการเชิงอนุพันธ์
คำตอบ: t = 9.065 min
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·ekt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e∫p dx: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C
ค่าคงที่การเย็นตัว
k = ln(-16/-7)/20 = 0.04133 min⁻¹
เวลาที่ถึงเป้าหมาย
t = ln(-16/(−11))/0.04133 = 9.065 min
คำตอบ
t = 9.065 min
2.สมการเชิงอนุพันธ์
คำตอบ: y(2) = 2.25
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·ekt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e∫p dx: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C
ตัวประกอบอินทิเกรต
μ = e∫1/x dx = x1
อินทิเกรต
(x1y)′ = x → x1y = 1x2/2 + C
เงื่อนไขเริ่มต้น
3 = 1/2 + C → C = 2.5
คำนวณค่า
y(2) = (1·22/2 + 2.5)/21 = 2.25
คำตอบ
y(2) = 2.25
3.อินทิกรัล
คำตอบ: I = 1.742
การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ
เลือก u และ dv
u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x
ปฏิยานุพันธ์
∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x
ลิมิต
(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1.742
คำตอบ
I = 1.742
4.อินทิกรัล
คำตอบ: V = 120.6
ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน
จุดตัด
6x = 3x² → x = 0, x = 2
วิธีวงแหวน
V = π∫₀2 ((6x)² − (3x²)²) dx
อินทิเกรต
V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38.4 = 120.6
คำตอบ
V = 120.6
5.อนุพันธ์
คำตอบ: f′(0.5) = 1.104
การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า
กฎผลคูณและกฎลูกโซ่
f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)
แทนค่า
f′(0.5) = 0.9975 + 1.5·0.07074 = 1.104
คำตอบ
f′(0.5) = 1.104
6.อนุพันธ์
คำตอบ: x = 6
การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า
อนุพันธ์
f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)
แก้สมการ f′(x) = 0
x = 3 หรือ x = 6
อันไหนคืออันไหน
f″(x) = 6x − 27: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด
f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 6
คำตอบ
x = 6
7.วิธีเชิงตัวเลข
คำตอบ: s = 126 m
การอินทิเกรตเชิงตัวเลข: แบ่ง [a, b] เป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀ … xₙ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ] กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ] ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² (ขอบเขต (b − a)h²·M/12 โดย M = max|f″|) ของซิมป์สันเหมือน h⁴ ดังนั้นซิมป์สันมักแม่นยำกว่ามากสำหรับจุดต่อเท่ากัน
ผลรวมถ่วงน้ำหนัก
9 + 2·14 + 2·18 + 2·17 + 19 = 126
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู
s = (2/2)·126 = 126 m
คำตอบ
s = 126 m
8.วิธีเชิงตัวเลข
คำตอบ: y4 = 1.172
คำตอบเชิงตัวเลขของ y′ = f(t, y): วิธีออยเลอร์เดินตามความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) เฉลี่ยความชันที่จุดเริ่มต้นและที่ค่าทำนายของออยเลอร์: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂) วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) รวมสี่ความชัน: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) ความคลาดเคลื่อนรวมของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² ของ RK4 กับ h⁴
ขั้นของออยเลอร์
y₁ = 2 + 0.25·(−1) = 1.75
y₂ = 1.75 + 0.25·(−0.875) = 1.53125
y₃ = 1.53125 + 0.25·(−0.765625) = 1.339844
y₄ = 1.339844 + 0.25·(−0.669922) = 1.172363
กราฟ
y4 = 1.172
คำตอบ
y4 = 1.172
ค่าที่แท้จริงคือ y(1) = 1.213061
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations