สมการเชิงอนุพันธ์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

วิธีเชิงตัวเลข

วิธีแบ่งครึ่ง: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
นิวตัน–ราฟสัน: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมู: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
ออยเลอร์: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ฮอยน์: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

วิธีการ

สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ

2โจทย์ฝึก

1.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

จงแก้ y″ + 7y′ + 10y = 0 โดย y(0) = 5 และ y′(0) = 1 จงหา y(0.5)

y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 5y′(0) = 1

y(0.5) =

2.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ระบบเป็นไปตาม y″ + y′ + 4.25y = 42.5 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหาค่ายอด y_max ของการตอบสนองต่อขั้น

y″ + y′ + 4.25y = 42.5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₂⁸ 3/x dx

f(x) = 3/x[2, 8]

I =

4.อินทิกรัลยาก

จงหาค่าของ I = ∫₀^1.5 x²·eˣ dx

∫₀^1.5 x²eˣ dx

I =

5.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = x³·e^0.5x หา f′(0.5)

f(x) = x³·e^0.5xx = 0.5

f′(0.5) =

6.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ − 6x² − 5 หาพิกัด x x ของจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ − 6x² − 5

x =

7.วิธีเชิงตัวเลขปานกลาง

วัดอัตราเร็วของยานพาหนะทุก 2 s (ตาราง) จงประมาณระยะทาง s ที่เดินทางจาก t = 0 ถึง t = 8 s ด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมู

h = 2 sn = 4

s = m

8.วิธีเชิงตัวเลขยาก

ใช้วิธีออยเลอร์ด้วย h = 0.5 สำหรับ y′ = e^−ty, y(0) = 0 เพื่อประมาณ y₄ ≈ y(2)

y′ = e^−tyy(0) = 0h = 0.5

y₄ =

3สารละลาย

1.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(0.5) = 2.887

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากลักษณะเฉพาะ

(r + 2)(r + 5) = 0 → r = −2, −5

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

A + B = 5, −2A − 5B = 1

A = 8.667, B = −3.667

คำนวณค่า

y(0.5) = 8.667·e⁻¹ + (−3.667)·e^−2.5 = 2.887

คำตอบ

y(0.5) = 2.887

2.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y_max = 14.56

ค่าคงตัวและราก

y_ss = 10, r = −0.5 ± 2j

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −0.5A + 2B = 0 → B = −2.5

ยอด

t = π/2 = 1.571

y_max = 10·(1 + e^−0.5·π/2) = 14.56

คำตอบ

y_max = 14.56

3.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 4.159

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = 3·ln x

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = 3·(ln 8 − ln 2) = 3·ln 4 = 4.159

คำตอบ

I = 4.159

4.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 3.602

การอินทิเกรตทีละส่วน: ∫u·dv = u·v − ∫v·du มาจากกฎผลคูณ เลือก u เป็นตัวประกอบที่ง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (กำลังของ x หรือ ln x) และ dv เป็นตัวประกอบที่อินทิเกรตได้ (eˣ, sin x, cos x หรือ x เมื่อ u = ln x) สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต ให้คำนวณ u·v ที่ทั้งสองขอบเขต: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du ตัวประกอบ x² ต้องทำสองรอบ

รอบแรก

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

รอบที่สอง

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

ลิมิต

4.482·(1.25) − 1·2 = 3.602

คำตอบ

I = 3.602

5.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(0.5) = 1.043

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎผลคูณ

f′(x) = u′v + uv′ = e^0.5x·(3x² + 0.5·x³)

แทนค่า

f′(0.5) = 1.284·(0.75 + 0.0625) = 1.043

คำตอบ

f′(0.5) = 1.043

6.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 4

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² − 12x = 3·(x² − 4x)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = 0 หรือ x = 4

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x − 12: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(0) = −12, f″(4) = 12

x = 4

คำตอบ

x = 4

7.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: s = 97 m

การอินทิเกรตเชิงตัวเลข: แบ่ง [a, b] เป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀ … xₙ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ] กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ] ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² (ขอบเขต (b − a)h²·M/12 โดย M = max|f″|) ของซิมป์สันเหมือน h⁴ ดังนั้นซิมป์สันมักแม่นยำกว่ามากสำหรับจุดต่อเท่ากัน

ผลรวมถ่วงน้ำหนัก

10 + 2·9 + 2·13 + 2·14 + 15 = 97

กฎสี่เหลี่ยมคางหมู

s = (2/2)·97 = 97 m

คำตอบ

s = 97 m

8.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: y₄ = 1.192

คำตอบเชิงตัวเลขของ y′ = f(t, y): วิธีออยเลอร์เดินตามความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) เฉลี่ยความชันที่จุดเริ่มต้นและที่ค่าทำนายของออยเลอร์: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂) วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) รวมสี่ความชัน: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) ความคลาดเคลื่อนรวมของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² ของ RK4 กับ h⁴

ขั้นของออยเลอร์

y₁ = 0 + 0.5·(1) = 0.5

y₂ = 0.5 + 0.5·(0.778801) = 0.8894

y₃ = 0.8894 + 0.5·(0.410902) = 1.094851

y₄ = 1.094851 + 0.5·(0.193539) = 1.191621

กราฟ

y₄ = 1.192

คำตอบ

y₄ = 1.192

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations