สมการเชิงอนุพันธ์
- การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- ครึ่งชีวิต
- k = ln 2 / t½
- กฎการเย็นตัวของนิวตัน
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- ตัวประกอบอินทิเกรต
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- ถังผสม
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
สมการเชิงอนุพันธ์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
อินทิกรัล
- กฎกำลัง
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- อินทิกรัลจำกัดเขต
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- อินทิกรัลที่พบบ่อย
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
- ∫ab (f − g) dx
วิธีการ
- เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
- ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ ex, 1/x, sin และ cos
- ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
- สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)
อนุพันธ์
- กฎกำลัง
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- กฎผลคูณ
- (uv)′ = u′v + uv′
- กฎผลหาร
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- กฎลูกโซ่
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- อนุพันธ์ที่พบบ่อย
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
วิธีการ
- ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
- ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
- ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
- ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม
วิธีเชิงตัวเลข
- วิธีแบ่งครึ่ง
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- นิวตัน–ราฟสัน
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- กฎสี่เหลี่ยมคางหมู
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมู
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- ออยเลอร์
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- ฮอยน์
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
วิธีการ
- สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
- สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
- สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
- สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ
2โจทย์ฝึก
1.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง
จงแก้ y″ + 6y′ + 8y = 0 โดย y(0) = 4 และ y′(0) = 1 จงหา y(2)
y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 4y′(0) = 1
y(2) =
2.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก
ระบบเป็นไปตาม y″ + 2y′ + 26y = 260 สำหรับ t ≥ 0 เริ่มจากหยุดนิ่ง: y(0) = 0, y′(0) = 0 จงหาค่ายอด ymax ของการตอบสนองต่อขั้น
y″ + 2y′ + 26y = 260y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3.อินทิกรัลปานกลาง
บริเวณใต้ y = x จาก x = 0 ถึง x = 1 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (กรวย)
y = x0 ≤ x ≤ 1
V =
4.อินทิกรัลยาก
บริเวณระหว่างเส้นตรง y = 4x กับพาราโบลา y = 2x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง
y = 4xy = 2x²
V =
5.อนุพันธ์ปานกลาง
ให้ f(x) = x·sin(2x) โดย x เป็นเรเดียน หา f′(1)
f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad
f′(1) =
6.อนุพันธ์ยาก
ให้ f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 4 หาพิกัด x x ของจุดสูงสุดสัมพัทธ์
f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 4
x =
7.วิธีเชิงตัวเลขปานกลาง
ประมาณ ∫02 x³ dx ด้วยกฎสี่เหลี่ยมคางหมู n = 2 แล้วเปรียบเทียบกับค่าที่แท้จริง จงหาความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ |E| = |T − I|
f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
8.วิธีเชิงตัวเลขยาก
ใช้วิธีออยเลอร์ด้วย h = 0.1 สำหรับ y′ = t² + y², y(0) = 1 เพื่อประมาณ y5 ≈ y(0.5)
y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0.1
y5 =
3สารละลาย
1.สมการเชิงอนุพันธ์
คำตอบ: y(2) = 0.1542
สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ
รากลักษณะเฉพาะ
(r + 2)(r + 4) = 0 → r = −2, −4
ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น
A + B = 4, −2A − 4B = 1
A = 8.5, B = −4.5
คำนวณค่า
y(2) = 8.5·e−4 + (−4.5)·e−8 = 0.1542
คำตอบ
y(2) = 0.1542
2.สมการเชิงอนุพันธ์
คำตอบ: ymax = 15.33
สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = ert: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·er₁t + B·er₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·ert (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 โดย ωn คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ
ค่าคงตัวและราก
yss = 10, r = −1 ± 5j
ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น
y(0) = 10 + A = 0 → A = −10
y′(0) = −1A + 5B = 0 → B = −2
ยอด
t = π/5 = 0.6283
ymax = 10·(1 + e−1·π/5) = 15.33
คำตอบ
ymax = 15.33
3.อินทิกรัล
คำตอบ: V = 1.047
ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน
วิธีจาน
V = π∫₀1 1x² dx
อินทิเกรต
V = π·1·1³/3 = 1.047
คำตอบ
V = 1.047
ตรวจสอบ: กรวยรัศมี 1 และสูง 1 มี (1/3)πr²h = 1.047
4.อินทิกรัล
คำตอบ: V = 53.62
ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน
จุดตัด
4x = 2x² → x = 0, x = 2
วิธีวงแหวน
V = π∫₀2 ((4x)² − (2x²)²) dx
อินทิเกรต
V = π(16·2³/3 − 4·2⁵/5) = π·17.07 = 53.62
คำตอบ
V = 53.62
5.อนุพันธ์
คำตอบ: f′(1) = 0.077
การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า
กฎผลคูณและกฎลูกโซ่
f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)
แทนค่า
f′(1) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077
คำตอบ
f′(1) = 0.077
6.อนุพันธ์
คำตอบ: x = 1
การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า
อนุพันธ์
f′(x) = 3x2 − 12x + 9 = 3·(x2 − 4x + 3)
แก้สมการ f′(x) = 0
x = 1 หรือ x = 3
อันไหนคืออันไหน
f″(x) = 6x − 12: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด
f″(1) = −6, f″(3) = 6
x = 1
คำตอบ
x = 1
7.วิธีเชิงตัวเลข
คำตอบ: |E| = 1
การอินทิเกรตเชิงตัวเลข: แบ่ง [a, b] เป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀ … xₙ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ] กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ] ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² (ขอบเขต (b − a)h²·M/12 โดย M = max|f″|) ของซิมป์สันเหมือน h⁴ ดังนั้นซิมป์สันมักแม่นยำกว่ามากสำหรับจุดต่อเท่ากัน
ค่าที่แท้จริง
I = 4
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู
T = (1/2)·(0 + 2·1 + 8) = 5
ความคลาดเคลื่อน
|E| = |5 − 4| = 1
คำตอบ
|E| = 1
ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์: 25%
8.วิธีเชิงตัวเลข
คำตอบ: y5 = 1.837
คำตอบเชิงตัวเลขของ y′ = f(t, y): วิธีออยเลอร์เดินตามความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) เฉลี่ยความชันที่จุดเริ่มต้นและที่ค่าทำนายของออยเลอร์: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂) วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) รวมสี่ความชัน: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) ความคลาดเคลื่อนรวมของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² ของ RK4 กับ h⁴
ขั้นของออยเลอร์
y₁ = 1 + 0.1·(1) = 1.1
y₂ = 1.1 + 0.1·(1.22) = 1.222
y₃ = 1.222 + 0.1·(1.533284) = 1.375328
y₄ = 1.375328 + 0.1·(1.981528) = 1.573481
y₅ = 1.573481 + 0.1·(2.635843) = 1.837066
กราฟ
y5 = 1.837
คำตอบ
y5 = 1.837
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations