สมการเชิงอนุพันธ์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
ครึ่งชีวิต: k = ln 2 / t_½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
ถังผสม: dm/dt = r·c − (r/V)·m

อินทิกรัล

กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง: ∫_a^b (f − g) dx

วิธีการ

เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ e^x, 1/x, sin และ cos
ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

อนุพันธ์

กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

วิธีเชิงตัวเลข

วิธีแบ่งครึ่ง: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
นิวตัน–ราฟสัน: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมู: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
ออยเลอร์: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ฮอยน์: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

วิธีการ

สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ

2โจทย์ฝึก

1.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง

จงแก้ y″ + 8y′ + 15y = 0 โดย y(0) = 5 และ y′(0) = -2 จงหา y(2)

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 5y′(0) = -2

y(2) =

2.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก

ถังบรรจุน้ำบริสุทธิ์ 100 L น้ำเกลือที่มีเกลือ 0.2 kg ต่อลิตรไหลเข้าด้วยอัตรา 20 L/min และสารละลายที่ผสมเข้ากันดีไหลออกด้วยอัตราเท่ากัน ต้องใช้เวลากี่นาที t ในถังจึงมีเกลือ 16 kg

V = 100 Lm₀ = 0 kgc = 0.2 kg/Lr = 20 L/min

t = min

3.อินทิกรัลปานกลาง

คำนวณ I = ∫₁⁵ 3/x dx

f(x) = 3/x[1, 5]

I =

4.อินทิกรัลยาก

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = x² และ y = x

y = x²y = x

A =

5.อนุพันธ์ปานกลาง

ให้ f(x) = ln(2x² + 1) หา f′(1)

f(x) = ln(2x² + 1)x = 1

f′(1) =

6.อนุพันธ์ยาก

ให้ f(x) = x³ + 1.5x² − 6x − 4 หาพิกัด x x ของจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x) = x³ + 1.5x² − 6x − 4

x =

7.วิธีเชิงตัวเลขปานกลาง

ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูกับ ∫₁² 1/x dx ความคลาดเคลื่อนมากที่สุด (b − a)³·M/(12n²) โดย M = max|f″| บน [1, 2] จงหาจำนวนแถบที่น้อยที่สุด n ที่รับประกันว่าความคลาดเคลื่อนต่ำกว่า 1 × 10⁻⁵

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

8.วิธีเชิงตัวเลขยาก

จงแก้ y′ = −y, y(0) = −1 ด้วยวิธีออยเลอร์และขั้น h = 0.1 จนถึง t = 0.3 คำตอบที่แท้จริงคือ y = y₀e^−t จงหาความคลาดเคลื่อนรวม |E| = |y(0.3) − y₃|

y′ = −yy(0) = −1h = 0.1

|E| =

3สารละลาย

1.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(2) = 0.02821

สมการเชิงเส้นอันดับสอง: สำหรับ y″ + b·y′ + c·y = 0 ลองใช้ y = e^rt: ได้สมการลักษณะเฉพาะ r² + b·r + c = 0 รากจริงสองค่า r₁ ≠ r₂ ให้ y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (หน่วงเกิน) รากซ้ำ r ให้ y = (A + Bt)·e^rt (หน่วงวิกฤต) รากเชิงซ้อน −α ± jω ให้ y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (หน่วงน้อย สั่น) ค่าเริ่มต้น y(0) และ y′(0) กำหนด A และ B เมื่อเขียนเป็น y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 โดย ω_n คือความถี่ธรรมชาติและ ζ คืออัตราส่วนการหน่วง: ζ < 1 จะสั่น เมื่อมีอินพุตคงที่ y″ + by′ + cy = c·K คำตอบคือค่าคงตัว K บวกการตอบสนองอิสระ

รากลักษณะเฉพาะ

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

ค่าคงที่จากค่าเริ่มต้น

A + B = 5, −3A − 5B = -2

A = 11.5, B = −6.5

คำนวณค่า

y(2) = 11.5·e⁻⁶ + (−6.5)·e⁻¹⁰ = 0.02821

คำตอบ

y(2) = 0.02821

2.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: t = 8.047 min

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·e^kt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ผลลัพธ์

m(t) = 20 + (−20)·e^−t/5

แก้หา t

e^−t/5 = (20 − 16)/(20 − 0) = 0.2

t = 5·ln(5) = 8.047 min

คำตอบ

t = 8.047 min

3.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 4.828

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = 3·ln x

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = 3·(ln 5 − ln 1) = 3·ln 5 = 4.828

คำตอบ

I = 4.828

4.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 0.1667

จุดตัด

x² = x → x = 0, x = 1

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [0.5x² − 0.3333x³]₀¹ = 0.1667

คำตอบ

A = 0.1667

5.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(1) = 1.333

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่สำหรับลอการิทึม

f′(x) = 4x/(2x² + 1)

แทนค่า

f′(1) = 4/3 = 1.333

คำตอบ

f′(1) = 1.333

6.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 1

อนุพันธ์

f′(x) = 3x² + 3x − 6 = 3·(x² + x − 2)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = −2 หรือ x = 1

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x + 3: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(−2) = −9, f″(1) = 9

x = 1

คำตอบ

x = 1

7.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: n = 130

การอินทิเกรตเชิงตัวเลข: แบ่ง [a, b] เป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀ … xₙ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ] กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ] ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² (ขอบเขต (b − a)h²·M/12 โดย M = max|f″|) ของซิมป์สันเหมือน h⁴ ดังนั้นซิมป์สันมักแม่นยำกว่ามากสำหรับจุดต่อเท่ากัน

ขอบเขตของอนุพันธ์อันดับสอง

M = 2/1³ = 2

แก้หา n

n² > 1·2/(12·1 × 10⁻⁵) = 16667

n > 129.1 → n = 130

คำตอบ

n = 130

8.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: |E| = 0.01182

คำตอบเชิงตัวเลขของ y′ = f(t, y): วิธีออยเลอร์เดินตามความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) เฉลี่ยความชันที่จุดเริ่มต้นและที่ค่าทำนายของออยเลอร์: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂) วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) รวมสี่ความชัน: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) ความคลาดเคลื่อนรวมของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² ของ RK4 กับ h⁴

ขั้นของออยเลอร์

y₃ = −0.729

ค่าที่แท้จริง

y(0.3) = −0.740818

ความคลาดเคลื่อนรวม

|E| = |−0.740818 + 0.729| = 0.01182

กราฟ

คำตอบ

|E| = 0.01182

การลด h ลงครึ่งหนึ่งทำให้ความคลาดเคลื่อนของวิธีออยเลอร์ลดลงประมาณครึ่งหนึ่ง

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations