สมการเชิงอนุพันธ์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล
dy/dt = ky → y = y0ekt
ครึ่งชีวิต
k = ln 2 / t½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
ถังผสม
dm/dt = r·c − (r/V)·m

อินทิกรัล

กฎกำลัง
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต
∫ab f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
∫ab (f − g) dx

วิธีการ

  1. เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
  2. ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ ex, 1/x, sin และ cos
  3. ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
  4. สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

อนุพันธ์

กฎกำลัง
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ
(uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

  1. ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
  2. ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
  3. ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
  4. ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

วิธีเชิงตัวเลข

วิธีแบ่งครึ่ง
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
นิวตัน–ราฟสัน
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมู
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
ออยเลอร์
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ฮอยน์
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

วิธีการ

  1. สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
  2. สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
  3. สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
  4. สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ

2โจทย์ฝึก

1.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง
t (min)T (°C)10Ta​14 °C

น้ำอัดลมหนึ่งกระป๋องอุณหภูมิ 4 °C ถูกนำออกจากตู้เย็นมาไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 24 °C หลังผ่านไป 10 min อุณหภูมิเท่ากับ 14 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) จงหาค่าคงที่ k ในหน่วย min⁻¹

T0 = 4 °CTa = 24 °CT(10) = 14 °C
k = min⁻¹
2.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก
ty1.5y(1.5) = ?

จงแก้ y′ + y = 4e−2t โดย y(0) = 0 จงหา y(1.5)

y′ + y = 4e−2ty(0) = 0
y(1.5) =
3.อินทิกรัลปานกลาง
xy26

คำนวณ I = ∫26 1/x dx

f(x) = 1/x[2, 6]
I =
4.อินทิกรัลยาก
xy1.667y = 5xy = 3x²

บริเวณระหว่างเส้นตรง y = 5x กับพาราโบลา y = 3x² ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง

y = 5xy = 3x²
V =
5.อนุพันธ์ปานกลาง
xyx = 2

ให้ f(x) = (2x − 1)3 หา f′(2)

f(x) = (2x − 1)3x = 2
f′(2) =
6.อนุพันธ์ยาก
xyx = −1

เส้นสัมผัสของ f(x) = 3x2 + 5x ที่ x = −1 ตัดแกน y ที่ y = b หา b

f(x) = 3x2 + 5xx = −1
b =
7.วิธีเชิงตัวเลขปานกลาง
xy00.511.522.53

ประมาณ ∫03 √x·e−x dx ด้วยกฎของซิมป์สันโดยใช้ n = 6 แถบ ให้ S

f(x) = √x·e−x[a, b] = [0, 3]n = 6
S =
8.วิธีเชิงตัวเลขยาก
00.20.40.60.80.30.40.5ty(0, 0.5)

จงแก้ y′ = −2ty, y(0) = 0.5 ด้วยวิธีออยเลอร์และขั้น h = 0.2 จนถึง t = 0.8 คำตอบที่แท้จริงคือ y = y₀e−t² จงหาความคลาดเคลื่อนรวม |E| = |y(0.8) − y4|

y′ = −2tyy(0) = 0.5h = 0.2
|E| =

3สารละลาย

1.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: k = 0.06931 min⁻¹

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·ekt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e∫p dx: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

อัตราส่วนของผลต่างอุณหภูมิ

e−10k = -10/-20

แก้หา k

k = ln(-20/-10)/10 = 0.06931 min⁻¹

คำตอบ

k = 0.06931 min⁻¹
2.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: y(1.5) = 0.6934

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·ekt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e∫p dx: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ตัวประกอบอินทิเกรต

μ = et
(ety)′ = 4e−t

คำตอบทั่วไป

y = 4/(−1)·e−2t + C·e−t = −4·e−2t + C·e−t

เงื่อนไขเริ่มต้น

0 = −4 + C → C = 4

คำนวณค่า

y(1.5) = −4·0.04979 + 4·0.2231 = 0.6934

คำตอบ

y(1.5) = 0.6934
3.อินทิกรัล

คำตอบ: I = 1.099

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

ปฏิยานุพันธ์

F(x) = ln x

คำนวณที่ค่าขอบเขต

I = (ln 6 − ln 2) = ln 3 = 1.099

คำตอบ

I = 1.099
4.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 48.48

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

จุดตัด

5x = 3x² → x = 0, x = 1.667

วิธีวงแหวน

V = π∫₀1.667 ((5x)² − (3x²)²) dx

อินทิเกรต

V = π(25·1.667³/3 − 9·1.667⁵/5) = π·15.43 = 48.48

คำตอบ

V = 48.48
5.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(2) = 54

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่

f′(x) = 3·(2x − 1)2·2

แทนค่า

f′(2) = 3·32·2 = 54

คำตอบ

f′(2) = 54
6.อนุพันธ์

คำตอบ: b = −3

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

จุดและความชัน

f(−1) = −2
f′(x) = 6x + 5 → f′(−1) = −1

เส้นสัมผัสที่ x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−1)·(−1) = −3

คำตอบ

b = −3
7.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: S = 0.7554

การอินทิเกรตเชิงตัวเลข: แบ่ง [a, b] เป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀ … xₙ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ] กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ] ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² (ขอบเขต (b − a)h²·M/12 โดย M = max|f″|) ของซิมป์สันเหมือน h⁴ ดังนั้นซิมป์สันมักแม่นยำกว่ามากสำหรับจุดต่อเท่ากัน

ixᵢf(xᵢ)น้ำหนัก000110.50.4288824210.367879231.50.2732784420.191393252.50.1297884630.08623371

จุดต่อและค่า

h = 0.5
Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0.428882 + 2·0.367879 + 4·0.273278 + 2·0.191393 + 4·0.129788 + 0.0862337 = 4.532568

กฎของซิมป์สัน

S = (0.5/3)·4.532568 = 0.7554

คำตอบ

S = 0.7554

อินทิกรัลนี้ไม่มีปฏิยานุพันธ์ในรูปฟังก์ชันพื้นฐาน ซึ่งเป็นเวลาที่ต้องใช้กฎเชิงตัวเลขพอดี

8.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: |E| = 0.03002

คำตอบเชิงตัวเลขของ y′ = f(t, y): วิธีออยเลอร์เดินตามความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) เฉลี่ยความชันที่จุดเริ่มต้นและที่ค่าทำนายของออยเลอร์: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂) วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) รวมสี่ความชัน: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) ความคลาดเคลื่อนรวมของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² ของ RK4 กับ h⁴

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁000.500.510.20.5−0.20.4620.40.46−0.3680.386430.60.3864−0.463680.293664

ขั้นของออยเลอร์

y4 = 0.293664

ค่าที่แท้จริง

y(0.8) = 0.263646

ความคลาดเคลื่อนรวม

|E| = |0.263646 − 0.293664| = 0.03002
00.20.40.60.80.30.40.5ty

กราฟ

คำตอบ

|E| = 0.03002

การลด h ลงครึ่งหนึ่งทำให้ความคลาดเคลื่อนของวิธีออยเลอร์ลดลงประมาณครึ่งหนึ่ง

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations