สมการเชิงอนุพันธ์: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

สมการเชิงอนุพันธ์

การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล
dy/dt = ky → y = y0ekt
ครึ่งชีวิต
k = ln 2 / t½
กฎการเย็นตัวของนิวตัน
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
ตัวประกอบอินทิเกรต
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
ถังผสม
dm/dt = r·c − (r/V)·m

อินทิกรัล

กฎกำลัง
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
อินทิกรัลจำกัดเขต
∫ab f dx = F(b) − F(a)
อินทิกรัลที่พบบ่อย
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
∫ab (f − g) dx

วิธีการ

  1. เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
  2. ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ ex, 1/x, sin และ cos
  3. ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
  4. สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)

อนุพันธ์

กฎกำลัง
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
กฎผลคูณ
(uv)′ = u′v + uv′
กฎผลหาร
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
กฎลูกโซ่
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
อนุพันธ์ที่พบบ่อย
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

วิธีการ

  1. ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
  2. ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
  3. ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
  4. ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม

วิธีเชิงตัวเลข

วิธีแบ่งครึ่ง
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
นิวตัน–ราฟสัน
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
กฎสี่เหลี่ยมคางหมู
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมู
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
ออยเลอร์
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ฮอยน์
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

วิธีการ

  1. สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
  2. สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
  3. สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
  4. สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ

2โจทย์ฝึก

1.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง
t (min)T (°C)6Ta​10 °C8 °C

น้ำอัดลมหนึ่งกระป๋องอุณหภูมิ 4 °C ถูกนำออกจากตู้เย็นมาไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 24 °C หลังผ่านไป 6 min อุณหภูมิเท่ากับ 10 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 8 °C

T0 = 4 °CTa = 24 °CT(6) = 10 °CT = 8 °C
t = min
2.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก
t (min)m (kg)10 minm = ?

ถังบรรจุน้ำบริสุทธิ์ 100 L น้ำเกลือที่มีเกลือ 0.2 kg ต่อลิตรไหลเข้าด้วยอัตรา 20 L/min และสารละลายที่ผสมเข้ากันดีไหลออกด้วยอัตราเท่ากัน หลังผ่านไป 10 min จะมีเกลือในถังเท่าใด m

V = 100 Lm0 = 0 kgc = 0.2 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
3.อินทิกรัลปานกลาง
xy4y = 2x

บริเวณใต้ y = 2x จาก x = 0 ถึง x = 4 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (กรวย)

y = 2x0 ≤ x ≤ 4
V =
4.อินทิกรัลยาก
xyy = 0.5x2​y = x

หาพื้นที่ A ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y = 0.5x2 และ y = x

y = 0.5x2y = x
A =
5.อนุพันธ์ปานกลาง
xyx = 2

ให้ f(x) = (−2x − 1)3 หา f′(2)

f(x) = (−2x − 1)3x = 2
f′(2) =
6.อนุพันธ์ยาก
xy

ให้ f(x) = x3 − 12x + 1 หาพิกัด x x ของจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

f(x) = x3 − 12x + 1
x =
7.วิธีเชิงตัวเลขปานกลาง

ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูกับ ∫13 1/x dx ความคลาดเคลื่อนมากที่สุด (b − a)³·M/(12n²) โดย M = max|f″| บน [1, 3] จงหาจำนวนแถบที่น้อยที่สุด n ที่รับประกันว่าความคลาดเคลื่อนต่ำกว่า 0.0005

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0.0005
n =
8.วิธีเชิงตัวเลขยาก
00.20.40.611.21.4ty(0, 1)

ใช้วิธีออยเลอร์ด้วย h = 0.2 สำหรับ y′ = 0.5y, y(0) = 1 เพื่อประมาณ y3 ≈ y(0.6)

y′ = 0.5yy(0) = 1h = 0.2
y3 =

3สารละลาย

1.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: t = 3.754 min

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·ekt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e∫p dx: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ค่าคงที่การเย็นตัว

k = ln(-20/-14)/6 = 0.05945 min⁻¹

เวลาที่ถึงเป้าหมาย

t = ln(-20/(−16))/0.05945 = 3.754 min

คำตอบ

t = 3.754 min
2.สมการเชิงอนุพันธ์

คำตอบ: m = 17.29 kg

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·ekt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e∫p dx: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C

ตั้งสมการ

dm/dt = 20·0.2 − (20/100)·m = 4 − 0.2·m

แก้สมการ

ตัวคูณอินทิเกรตคือ ert/V คำตอบเข้าใกล้ค่าสมดุล c·V

m(t) = 20 + (−20)·e−t/5

แทนค่า t

m(10) = 20 + (−20)·0.1353 = 17.29 kg

คำตอบ

m = 17.29 kg
3.อินทิกรัล

คำตอบ: V = 268.1

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน

วิธีจาน

V = π∫₀4 4x² dx

อินทิเกรต

V = π·4·4³/3 = 268.1

คำตอบ

V = 268.1

ตรวจสอบ: กรวยรัศมี 8 และสูง 4 มี (1/3)πr²h = 268.1

4.อินทิกรัล

คำตอบ: A = 0.6667

อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx

จุดตัด

0.5x2 = x → x = 0, x = 2

อินทิเกรตบนลบล่าง

A = [0.5x2 − 0.1667x3]02 = 0.6667

คำตอบ

A = 0.6667
5.อนุพันธ์

คำตอบ: f′(2) = −150

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

กฎลูกโซ่

f′(x) = 3·(−2x − 1)2·(−2)

แทนค่า

f′(2) = 3·(−5)2·(−2) = −150

คำตอบ

f′(2) = −150
6.อนุพันธ์

คำตอบ: x = 2

การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า

อนุพันธ์

f′(x) = 3x2 − 12 = 3·(x2 − 4)

แก้สมการ f′(x) = 0

x = −2 หรือ x = 2

อันไหนคืออันไหน

f″(x) = 6x: เป็นลบที่จุดสูงสุด เป็นบวกที่จุดต่ำสุด

f″(−2) = −12, f″(2) = 12
x = 2

คำตอบ

x = 2
7.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: n = 52

การอินทิเกรตเชิงตัวเลข: แบ่ง [a, b] เป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀ … xₙ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ] กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ] ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² (ขอบเขต (b − a)h²·M/12 โดย M = max|f″|) ของซิมป์สันเหมือน h⁴ ดังนั้นซิมป์สันมักแม่นยำกว่ามากสำหรับจุดต่อเท่ากัน

ขอบเขตของอนุพันธ์อันดับสอง

M = 2/1³ = 2

แก้หา n

n² > 8·2/(12·0.0005) = 2667
n > 51.64 → n = 52

คำตอบ

n = 52
8.วิธีเชิงตัวเลข

คำตอบ: y3 = 1.331

คำตอบเชิงตัวเลขของ y′ = f(t, y): วิธีออยเลอร์เดินตามความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) เฉลี่ยความชันที่จุดเริ่มต้นและที่ค่าทำนายของออยเลอร์: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂) วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) รวมสี่ความชัน: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) ความคลาดเคลื่อนรวมของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² ของ RK4 กับ h⁴

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁0010.51.110.21.10.551.2120.41.210.6051.331

ขั้นของออยเลอร์

y₁ = 1 + 0.2·(0.5) = 1.1
y₂ = 1.1 + 0.2·(0.55) = 1.21
y₃ = 1.21 + 0.2·(0.605) = 1.331
00.20.40.611.21.4ty

กราฟ

y3 = 1.331

คำตอบ

y3 = 1.331

ค่าที่แท้จริงคือ y(0.6) = 1.349859

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations