สมการเชิงอนุพันธ์
- การเติบโต/การสลายแบบเอกซ์โพเนนเชียล
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- ครึ่งชีวิต
- k = ln 2 / t½
- กฎการเย็นตัวของนิวตัน
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- ตัวประกอบอินทิเกรต
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- ถังผสม
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
สมการเชิงอนุพันธ์: ชุดสรุปเร่งรัด
สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม
1สูตรและวิธีทำ
อินทิกรัล
- กฎกำลัง
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- อินทิกรัลจำกัดเขต
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- อินทิกรัลที่พบบ่อย
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง
- ∫ab (f − g) dx
วิธีการ
- เขียนฟังก์ชันที่อินทิเกรตใหม่เป็นผลบวกของพจน์ง่าย ๆ เมื่อเป็นไปได้
- ใช้กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) และอินทิกรัลมาตรฐานของ ex, 1/x, sin และ cos
- ใช้การแทนค่าเมื่อเห็นฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันอยู่ด้วยกัน
- สำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต คำนวณ F(b) − F(a)
อนุพันธ์
- กฎกำลัง
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- กฎผลคูณ
- (uv)′ = u′v + uv′
- กฎผลหาร
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- กฎลูกโซ่
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- อนุพันธ์ที่พบบ่อย
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
วิธีการ
- ระบุโครงสร้าง: ผลบวก ผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ
- ใช้กฎกำลังกับแต่ละกำลังของ x
- ใช้กฎผลคูณ กฎผลหาร หรือกฎลูกโซ่ตามความจำเป็น
- ลดรูป และคำนวณที่จุดนั้นถ้าโจทย์ถาม
วิธีเชิงตัวเลข
- วิธีแบ่งครึ่ง
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- นิวตัน–ราฟสัน
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- การประมาณค่าในช่วงเชิงเส้น
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- กฎสี่เหลี่ยมคางหมู
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมู
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- ออยเลอร์
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- ฮอยน์
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
วิธีการ
- สำหรับราก: ตรวจการเปลี่ยนเครื่องหมายสำหรับวิธีแบ่งครึ่ง หรือคำนวณ f และ f′ สำหรับนิวตัน และเก็บหกหลักขึ้นไปในตารางการวนซ้ำ
- สำหรับค่าในตาราง: ประมาณค่าในช่วงเชิงเส้นระหว่างสองจุดที่อยู่ติดกัน
- สำหรับอินทิกรัล: หา h = (b − a)/n เขียน f ที่ทุกจุดต่อ ใช้น้ำหนัก (1, 2, …, 2, 1 สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมู; 1, 4, 2, …, 4, 1 สำหรับซิมป์สันเมื่อ n เป็นเลขคู่) และคูณด้วย h/2 หรือ h/3
- สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ: เดินจาก t₀ ด้วย yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (ออยเลอร์) หรือความชันเฉลี่ย (ฮอยน์) หนึ่งแถวต่อขั้น จนถึง t ที่ต้องการ
2โจทย์ฝึก
1.สมการเชิงอนุพันธ์ปานกลาง
น้ำอัดลมหนึ่งกระป๋องอุณหภูมิ 6 °C ถูกนำออกจากตู้เย็นมาไว้ในห้องที่มีอุณหภูมิ 24 °C หลังผ่านไป 21 min อุณหภูมิเท่ากับ 14 °C เป็นไปตามกฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) หลังจากเริ่มต้นนานเท่าใด t จึงจะถึง 10 °C
T0 = 6 °CTa = 24 °CT(21) = 14 °CT = 10 °C
t = min
2.สมการเชิงอนุพันธ์ยาก
จงแก้ y′ + y = 9e−3t โดย y(0) = 2 จงหา y(1)
y′ + y = 9e−3ty(0) = 2
y(1) =
3.อินทิกรัลปานกลาง
บริเวณใต้ y = √(x) จาก x = 0 ถึง x = 1 ถูกหมุนรอบแกน x จงหาปริมาตร V ของของแข็ง (พาราโบลอยด์)
y = √(x)0 ≤ x ≤ 1
V =
4.อินทิกรัลยาก
หาพื้นที่ A ของบริเวณระหว่างพาราโบลา y = 4 − x² กับแกน x
y = 4 − x²
A =
5.อนุพันธ์ปานกลาง
ให้ f(x) = x·e−0.5x หา f′(1)
f(x) = x·e−0.5xx = 1
f′(1) =
6.อนุพันธ์ยาก
เส้นสัมผัสของ f(x) = 0.5x2 − 3x + 4 ที่ x = −2 ตัดแกน y ที่ y = b หา b
f(x) = 0.5x2 − 3x + 4x = −2
b =
7.วิธีเชิงตัวเลขปานกลาง
ประมาณ ∫01.5 √(1 + x³) dx ด้วยกฎของซิมป์สันโดยใช้ n = 2 แถบ ให้ S
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1.5]n = 2
S =
8.วิธีเชิงตัวเลขยาก
ใช้วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) ด้วย h = 0.1 สำหรับ y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0 เพื่อประมาณ y2 ≈ y(0.2)
y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0h = 0.1
y2 =
3สารละลาย
1.สมการเชิงอนุพันธ์
คำตอบ: t = 8.979 min
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·ekt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e∫p dx: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C
ค่าคงที่การเย็นตัว
k = ln(-18/-10)/21 = 0.02799 min⁻¹
เวลาที่ถึงเป้าหมาย
t = ln(-18/(−14))/0.02799 = 8.979 min
คำตอบ
t = 8.979 min
2.สมการเชิงอนุพันธ์
คำตอบ: y(1) = 2.167
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: dy/dt = k·y มีคำตอบ y = y₀·ekt (เติบโตเมื่อ k > 0 สลายตัวเมื่อ k < 0) ครึ่งชีวิต T ให้ k = ln 2/T กฎการเย็นตัวของนิวตัน dT/dt = −k·(T − Tₐ) ให้ T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt สมการเชิงเส้น y′ + p(x)·y = q(x) แก้ด้วยตัวคูณอินทิเกรต μ = e∫p dx: (μy)′ = μq ดังนั้น μy = ∫μq dx + C
ตัวประกอบอินทิเกรต
μ = et
(ety)′ = 9e−2t
คำตอบทั่วไป
y = 9/(−2)·e−3t + C·e−t = −4.5·e−3t + C·e−t
เงื่อนไขเริ่มต้น
2 = −4.5 + C → C = 6.5
คำนวณค่า
y(1) = −4.5·0.04979 + 6.5·0.3679 = 2.167
คำตอบ
y(1) = 2.167
3.อินทิกรัล
คำตอบ: V = 1.571
ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุน: การหมุนบริเวณใต้ y = f(x) จาก x = a ถึง x = b รอบแกน x ได้ของแข็งที่หน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) การรวมจานเหล่านั้นให้ V = π∫ₐᵇ f(x)² dx เมื่อบริเวณอยู่ระหว่างเส้นโค้งนอก R(x) และเส้นโค้งใน r(x) แต่ละชิ้นเป็นวงแหวน: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx ยกกำลังสองรัศมีก่อนลบกัน
วิธีจาน
V = π∫₀1 x dx
อินทิเกรต
V = π·1·1²/2 = 1.571
คำตอบ
V = 1.571
4.อินทิกรัล
คำตอบ: A = 10.67
อินทิกรัลจำกัดเขต: ∫ₐᵇ f(x) dx คือพื้นที่แบบมีเครื่องหมายระหว่างกราฟกับแกน x จาก a ถึง b หาปฏิยานุพันธ์ F (โดย F′ = f) แล้วคำนวณ F(b) − F(a) กฎกำลัง: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้นคือ ∫(บน − ล่าง) dx
ค่าศูนย์
4 − x² = 0 → x = ±2
อินทิเกรต
A = [4x − x³/3]−22 = 5.333 − (−5.333) = 10.67
คำตอบ
A = 10.67
5.อนุพันธ์
คำตอบ: f′(1) = 0.3033
การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า
กฎผลคูณ
f′(x) = u′v + uv′ = e−0.5x·(1 + (−0.5)·x)
แทนค่า
f′(1) = 0.6065·(1 + (−0.5)) = 0.3033
คำตอบ
f′(1) = 0.3033
6.อนุพันธ์
คำตอบ: b = 2
การหาอนุพันธ์: อนุพันธ์ f′(x) คือความชันของกราฟที่ x กฎกำลัง: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ กฎผลคูณ: (uv)′ = u′v + uv′ กฎลูกโซ่: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) ตรงที่ f′(x) = 0 กราฟมีเส้นสัมผัสในแนวนอน ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จุดต่ำสุด หรือจุดโค้งเว้า
จุดและความชัน
f(−2) = 12
f′(x) = x − 3 → f′(−2) = −5
เส้นสัมผัสที่ x = 0
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 12 − (−5)·(−2) = 2
คำตอบ
b = 2
7.วิธีเชิงตัวเลข
คำตอบ: S = 1.965
การอินทิเกรตเชิงตัวเลข: แบ่ง [a, b] เป็น n แถบกว้าง h = (b − a)/n โดยมีจุดต่อ x₀ … xₙ กฎสี่เหลี่ยมคางหมู: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ] กฎของซิมป์สัน (n เป็นเลขคู่): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ] ความคลาดเคลื่อนของสี่เหลี่ยมคางหมูลดลงเหมือน h² (ขอบเขต (b − a)h²·M/12 โดย M = max|f″|) ของซิมป์สันเหมือน h⁴ ดังนั้นซิมป์สันมักแม่นยำกว่ามากสำหรับจุดต่อเท่ากัน
จุดต่อและค่า
h = 0.75
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1.192424 + 2.09165 = 7.861346
กฎของซิมป์สัน
S = (0.75/3)·7.861346 = 1.965
คำตอบ
S = 1.965
อินทิกรัลนี้ไม่มีปฏิยานุพันธ์ในรูปฟังก์ชันพื้นฐาน ซึ่งเป็นเวลาที่ต้องใช้กฎเชิงตัวเลขพอดี
8.วิธีเชิงตัวเลข
คำตอบ: y2 = 0.203
คำตอบเชิงตัวเลขของ y′ = f(t, y): วิธีออยเลอร์เดินตามความชันที่จุดเริ่มต้นของแต่ละขั้น: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) วิธีของฮอยน์ (ออยเลอร์ปรับปรุง) เฉลี่ยความชันที่จุดเริ่มต้นและที่ค่าทำนายของออยเลอร์: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂) วิธีรุงเง–คุตตาแบบดั้งเดิม (RK4) รวมสี่ความชัน: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) ความคลาดเคลื่อนรวมของออยเลอร์เป็นสัดส่วนกับ h ของฮอยน์กับ h² ของ RK4 กับ h⁴
ขั้นของฮอยน์
y₁ = 0 + (0.1/2)(1 + 1.01) = 0.1005
y₂ = 0.1005 + (0.1/2)(1.01005 + 1.04029) = 0.203017
กราฟ
y2 = 0.203
คำตอบ
y2 = 0.203
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations