คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

สองเซต: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
สามเซต: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
ผลต่างและคอมพลีเมนต์: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
เพาเวอร์เซตและผลคูณคาร์ทีเซียน: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
เซตย่อยขนาด k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
ฟังก์ชัน A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
ความสัมพันธ์บน n สมาชิก: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
ฟังก์ชันประกอบ: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

วิธีการ

วาดแผนภาพเวนน์แล้วพิจารณาทีละบริเวณว่าบริเวณใดเป็นของนิพจน์เซต
สำหรับโจทย์การนับ ให้เติมบริเวณจากตรงกลางออกไป คือทุกเซตก่อน แล้วเป็นคู่ จากนั้นเป็นเซตเดี่ยว และสุดท้ายคือด้านนอก
ใช้หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออกเพื่อตรวจสอบ: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
สำหรับความสัมพันธ์ ให้ทดสอบสมบัติแต่ละข้อกับทุกคู่ และยกตัวอย่างค้านหนึ่งตัวอย่างเมื่อสมบัตินั้นไม่เป็นจริง
สำหรับฟังก์ชัน ให้นับลูกศรที่ชี้เข้าแต่ละสมาชิกของ B ถ้ามากที่สุดหนึ่งลูกคือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ถ้าอย่างน้อยหนึ่งลูกคือฟังก์ชันทั่วถึง

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

2โจทย์ฝึก

1.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

คุณต้องการพิสูจน์ (c ∧ b) → ¬a ด้วยข้อขัดแย้ง ควรสมมติประโยคใดตอนเริ่มต้น ให้คลิกประโยคนั้น

(c ∧ b) → ¬a

1(c ∧ b) ∧ ¬¬a
2¬(c ∧ b) ∧ ¬¬a
3¬(c ∧ b) → ¬¬a
4¬(c ∧ b) ∧ ¬a

2.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ตารางค่าความจริง 16 แถวมีกี่แถวที่ทำให้ ¬(r → (¬q ∨ s)) ∧ ((q ↔ p) ∨ s) เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

¬(r → (¬q ∨ s)) ∧ ((q ↔ p) ∨ s)

N =

3.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันปานกลาง

ความสัมพันธ์ R บน {1, 2, 3, 4} วาดเป็นกราฟมีทิศทาง (ลูปหมายถึง (x, x) ∈ R) สมบัติทั้งสี่มีเพียงข้อเดียวที่เป็นจริง ให้คลิกข้อนั้น

R = {(1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 2)}

1สะท้อน
2สมมาตร
3ปฏิสมมาตร
4แพร่ผ่าน

4.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันยาก

บน X = {1, 2, …, 7} ความสัมพันธ์ R เป็นจริงเมื่อ x ≡ y (mod 2) R มีคู่อันดับกี่คู่ เรียกจำนวนนี้ว่า |R|

X = {1, …, 7}x R y ⟺ 2 | (x − y)

|R| =

5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K₄ มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K₄

H =

6.ทฤษฎีกราฟยาก

มีวอล์กความยาว 2 จาก D ไป E กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 2

N =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ φ(95) ซึ่งเป็นจำนวนของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 95 ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 95

n = 95 = 5·19

φ(95) =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

ใช้การยกกำลังสองซ้ำเพื่อหา 34³⁶ mod 43

a = 34k = 36n = 43

34³⁶ mod 43 =

3สารละลาย

1.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: (c ∧ b) ∧ ¬¬a

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

ส่วนต่าง ๆ ของนัย

a = c ∧ b, b = ¬a

นิเสธของนัย

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = (c ∧ b) ∧ ¬¬a

คำตอบ

(c ∧ b) ∧ ¬¬a

ถ้าข้อสมมติทำให้เกิดข้อขัดแย้ง นัยนั้นต้องเป็นจริง

2.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 1

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

คอลัมน์

¬q; ¬q ∨ s; r → (¬q ∨ s); ¬(r → (¬q ∨ s)); q ↔ p; (q ↔ p) ∨ s; ¬(r → (¬q ∨ s)) ∧ ((q ↔ p) ∨ s)

แยกตาม p

p = 1: 1

p = 0: 0

N = 1 + 0 = 1

คำตอบ

N = 1

3.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

คำตอบ: ปฏิสมมาตร

ความสัมพันธ์: ความสัมพันธ์ R บนเซต X คือเซตของคู่อันดับ (x, y) R สะท้อนเมื่อ (x, x) ∈ R สำหรับทุก x ใน X; สมมาตรเมื่อ (x, y) ∈ R มี (y, x) ∈ R มาด้วยเสมอ; ปฏิสมมาตรเมื่อ (x, y) และ (y, x) อยู่ใน R ทั้งคู่เฉพาะเมื่อ x = y; และแพร่ผ่านเมื่อ (x, y) และ (y, z) ใน R บังคับให้ (x, z) ∈ R ความสัมพันธ์สมมูลคือความสัมพันธ์ที่สะท้อน สมมาตร และแพร่ผ่าน และแบ่ง X เป็นคลาสที่ไม่ซ้อนกัน

สะท้อน

ไม่เป็นจริง: (1, 1) ∉ R

สมมาตร

ไม่เป็นจริง: (1, 2) ∈ R, (2, 1) ∉ R

ปฏิสมมาตร

เป็นจริง

แพร่ผ่าน

ไม่เป็นจริง: (1, 2), (2, 4) ∈ R, (1, 4) ∉ R

คำตอบ

ปฏิสมมาตร

4.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

คำตอบ: |R| = 25

คลาส

เศษ 0: 3

เศษ 1: 4

คู่

|R| = 3² + 4² = 25

คำตอบ

|R| = 25

5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 3

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว K_n มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

คำตอบ

H = 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 1

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ K_n มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 0

E: 0 1 1 0 0

เพื่อนบ้านร่วม

(M²)_DE = 0·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 0·0 = 1

คำตอบ

N = 1

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: φ(95) = 72

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ตัวประกอบเฉพาะ

95 = 5·19

โทเทียนต์

φ(95) = φ(19)·φ(5) = 18·4 = 72

คำตอบ

φ(95) = 72

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 34³⁶ mod 43 = 11

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

เลขชี้กำลังฐานสอง

36 = 100100₂ = 32 + 4

การยกกำลังสองซ้ำ

34¹ ≡ 34 (mod 43)

34² ≡ 38 (mod 43)

34⁴ ≡ 25 (mod 43)

34⁸ ≡ 23 (mod 43)

34¹⁶ ≡ 13 (mod 43)

34³² ≡ 40 (mod 43)

คูณเลขยกกำลังที่ต้องใช้

34³⁶ ≡ 25·40 ≡ 11 (mod 43)

คำตอบ

34³⁶ mod 43 = 11

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics