คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

สองเซต
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
สามเซต
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
ผลต่างและคอมพลีเมนต์
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
เพาเวอร์เซตและผลคูณคาร์ทีเซียน
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
เซตย่อยขนาด k
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
ฟังก์ชัน A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
ความสัมพันธ์บน n สมาชิก
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
ฟังก์ชันประกอบ
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

วิธีการ

  1. วาดแผนภาพเวนน์แล้วพิจารณาทีละบริเวณว่าบริเวณใดเป็นของนิพจน์เซต
  2. สำหรับโจทย์การนับ ให้เติมบริเวณจากตรงกลางออกไป คือทุกเซตก่อน แล้วเป็นคู่ จากนั้นเป็นเซตเดี่ยว และสุดท้ายคือด้านนอก
  3. ใช้หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออกเพื่อตรวจสอบ: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
  4. สำหรับความสัมพันธ์ ให้ทดสอบสมบัติแต่ละข้อกับทุกคู่ และยกตัวอย่างค้านหนึ่งตัวอย่างเมื่อสมบัตินั้นไม่เป็นจริง
  5. สำหรับฟังก์ชัน ให้นับลูกศรที่ชี้เข้าแต่ละสมาชิกของ B ถ้ามากที่สุดหนึ่งลูกคือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ถ้าอย่างน้อยหนึ่งลูกคือฟังก์ชันทั่วถึง

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

  1. ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
  2. สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
  3. สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
  4. แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
  5. สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

2โจทย์ฝึก

1.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
¬q ∧ ¬p¬q ∨ p¬q ∧ p¬q ∨ ¬p

สูตรใดสมมูลเชิงตรรกะกับ ¬(q ∧ p) ให้คลิกสูตรนั้น

¬(q ∧ p)
  1. 1¬q ∧ ¬p
  2. 2¬q ∨ p
  3. 3¬q ∧ p
  4. 4¬q ∨ ¬p
2.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))∃x (P(x) → ∀y ¬R(x, y))∀x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))∃x (¬P(x) ∧ ∃y R(x, y))

ประโยคใดสมมูลกับ ¬∀x (P(x) → ∃y R(x, y)) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น

¬∀x (P(x) → ∃y R(x, y))
  1. 1∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
  2. 2∃x (P(x) → ∀y ¬R(x, y))
  3. 3∀x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
  4. 4∃x (¬P(x) ∧ ∃y R(x, y))
3.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันปานกลาง
ULT15

การสำรวจคน 56 คนพบว่า 25 คนมีแล็ปท็อป (L) 43 คนมีแท็บเล็ต (T) และ 15 คนมีทั้งสองอย่าง มีกี่คนที่อยู่ในอย่างน้อยหนึ่งในสองเซต

|U| = 56|L| = 25|T| = 43|L ∩ T| = 15
|L ∪ T| =
4.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันยาก

มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง f: A → B กี่ฟังก์ชัน ถ้า |A| = 3 และ |B| = 5 เรียกจำนวนนี้ว่า N

|A| = 3|B| = 5
N =
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 2 จุดยอดดีกรี 3, 3 จุดยอดดีกรี 4, 4 จุดยอดดีกรี 5 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

2 × deg 33 × deg 44 × deg 5
L =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
ABCDE

มีวอล์กปิดความยาว 3 ที่เริ่มและจบที่ E กี่วอล์ก วอล์กอาจซ้ำจุดยอดและเส้นเชื่อมได้ เรียกจำนวนนี้ว่า N

M = เมทริกซ์ประชิดL = 3
N =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาตัวผกผันของ 31 มอดูโล 79: จำนวน x ที่ 0 < x < 79 และ 31·x ≡ 1 (mod 79)

a = 31n = 79
31−1 mod 79 =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

89 เป็นจำนวนเฉพาะ ใช้ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาเพื่อหา 3019486 mod 89

p = 89k = 19486
3019486 mod 89 =

3สารละลาย

1.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ¬q ∨ ¬p

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

กฎ

เดอมอร์แกน: ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ตัว ∧ เปลี่ยนเป็น ∨ และทั้งสองส่วนถูกใส่นิเสธ
¬(q ∧ p) ≡ ¬q ∨ ¬p

ตรวจสอบด้วยตารางค่าความจริง

p = 1, q = 1: 0 | 0 1 0 0
p = 1, q = 0: 1 | 0 1 1 1
p = 0, q = 1: 1 | 0 0 0 1
p = 0, q = 0: 1 | 1 1 0 1

คำตอบ

¬q ∨ ¬p

คอลัมน์หลังเส้นคั่นคือตัวเลือกตามลำดับที่แสดง

2.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

ย้ายนิเสธเข้าด้านใน

¬∀x (P(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

คำตอบ

∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด

3.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

คำตอบ: |L ∪ T| = 53

เซตและแผนภาพเวนน์: A ∪ B มีสมาชิกใน A หรือ B (หรือทั้งสอง) A ∩ B มีสมาชิกในทั้งสอง A − B มีสมาชิกของ A ที่ไม่อยู่ใน B และคอมพลีเมนต์ A′ คือทุกอย่างใน U ที่ไม่อยู่ใน A ในแผนภาพเวนน์ นิพจน์เซตทุกนิพจน์คือยูเนียนของบริเวณ จึงนับทีละบริเวณได้ หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออก: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| และ |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

บริเวณ

L ∩ T: 15
L − T: 25 − 15 = 10
T − L: 43 − 15 = 28
(L ∪ T)′: 56 − (10 + 28 + 15) = 3

คำตอบ

|L ∪ T| = 53

คำตอบ

|L ∪ T| = 53
4.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

คำตอบ: N = 60

ฟังก์ชันและการนับ: ฟังก์ชัน f: A → B ให้สมาชิกทุกตัวของ A มีภาพใน B เพียงหนึ่งตัวพอดี f เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) เมื่อสมาชิกต่างกันมีภาพต่างกัน ทั่วถึง (surjective) เมื่อสมาชิกทุกตัวของ B เป็นภาพ และหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) เมื่อเป็นจริงทั้งสองอย่าง เมื่อ |A| = m และ |B| = n มี nᵐ ฟังก์ชัน ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง n!/(n − m)! ฟังก์ชัน (m ≤ n) และฟังก์ชันทั่วถึง Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ ฟังก์ชันโดยหลักการเพิ่มเข้า–ตัดออก |𝒫(A)| = 2ᵐ และ |A × B| = m·n

นับ

N = 5!/(5 − 3)! = 60

คำตอบ

N = 60
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 22

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 38 = 2(L + 9) − 2
L = 22

คำตอบ

L = 22

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: N = 2

ดีกรี: ดีกรีของจุดยอดคือจำนวนเส้นเชื่อมที่มาบรรจบที่จุดนั้น เส้นเชื่อมแต่ละเส้นมีสองปลาย ดังนั้นผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม: Σ deg(v) = 2|E| (เล็มมาการจับมือ) ดังนั้นจำนวนจุดยอดที่มีดีกรีคี่เป็นจำนวนคู่ Kn มีเส้นเชื่อม n(n − 1)/2 เส้น กราฟปรกติดีกรี k ที่มี n จุดยอดมี nk/2 เส้น และต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

เมทริกซ์ประชิด

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

อีกหนึ่งก้าว

(M³)EE = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 0·1 + 3·0 = 2

คำตอบ

N = 2
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 31−1 mod 79 = 51

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·31 (mod 79)

r = 79, t = 0
r = 31, q = 2, t = 1
r = 17, q = 1, t = −2
r = 14, q = 1, t = 3
r = 3, q = 4, t = −5
r = 2, q = 1, t = 23
r = 1, q = 2, t = −28

อินเวอร์ส

1 ≡ −28·31 (mod 79)
x = 51
ตรวจสอบ: 31·51 = 1581 = 20·79 + 1

คำตอบ

31−1 mod 79 = 51
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 3019486 mod 89 = 72

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

ลดเลขชี้กำลัง

19486 mod 88 = 38
3019486 ≡ 3038 (mod 89)

เลขยกกำลังขนาดเล็ก

3038 mod 89 = 72

คำตอบ

3019486 mod 89 = 72

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics