คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

สองเซต: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
สามเซต: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
ผลต่างและคอมพลีเมนต์: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
เพาเวอร์เซตและผลคูณคาร์ทีเซียน: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
เซตย่อยขนาด k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
ฟังก์ชัน A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
ความสัมพันธ์บน n สมาชิก: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
ฟังก์ชันประกอบ: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

วิธีการ

วาดแผนภาพเวนน์แล้วพิจารณาทีละบริเวณว่าบริเวณใดเป็นของนิพจน์เซต
สำหรับโจทย์การนับ ให้เติมบริเวณจากตรงกลางออกไป คือทุกเซตก่อน แล้วเป็นคู่ จากนั้นเป็นเซตเดี่ยว และสุดท้ายคือด้านนอก
ใช้หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออกเพื่อตรวจสอบ: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
สำหรับความสัมพันธ์ ให้ทดสอบสมบัติแต่ละข้อกับทุกคู่ และยกตัวอย่างค้านหนึ่งตัวอย่างเมื่อสมบัตินั้นไม่เป็นจริง
สำหรับฟังก์ชัน ให้นับลูกศรที่ชี้เข้าแต่ละสมาชิกของ B ถ้ามากที่สุดหนึ่งลูกคือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ถ้าอย่างน้อยหนึ่งลูกคือฟังก์ชันทั่วถึง

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

2โจทย์ฝึก

1.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

(p → q) → (q → p) เป็น tautology, contradiction หรือ contingency ให้คลิกคำตอบของคุณ

(p → q) → (q → p)

1ซ้ำซ้อน (tautology)
2ขัดแย้ง (contradiction)
3contingency

2.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

การอ้างเหตุผลที่มีสมมติฐาน c → (b ∨ a); c และบทสรุป b ไม่สมเหตุสมผล ให้คลิกแถวของตารางค่าความจริงที่เป็นตัวอย่างค้าน

c → (b ∨ a)c∴ b

1a = 1, b = 1, c = 1
2a = 1, b = 1, c = 0
3a = 1, b = 0, c = 1
4a = 1, b = 0, c = 0
5a = 0, b = 1, c = 1
6a = 0, b = 1, c = 0
7a = 0, b = 0, c = 1
8a = 0, b = 0, c = 0

3.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันปานกลาง

ในบรรดานักศึกษาปีหนึ่ง 63 คน มี 37 คนสอบผ่านคณิตศาสตร์ (M) 27 คนสอบผ่านฟิสิกส์ (P) และ 28 คนสอบผ่านเคมี (C) 16 คนผ่าน M และ P 20 คนผ่าน M และ C 11 คนผ่าน P และ C และ 6 คนผ่านทั้งสามวิชา มีกี่คนที่ไม่อยู่ในทั้งสามเซต

|U| = 63

|(M ∪ P ∪ C)′| =

4.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันยาก

บน X = {1, 2, …, 7} ความสัมพันธ์ R เป็นจริงเมื่อ x ≡ y (mod 3) R มีคู่อันดับกี่คู่ เรียกจำนวนนี้ว่า |R|

X = {1, …, 7}x R y ⟺ 3 | (x − y)

|R| =

5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

ต้นไม้มี 2 จุดยอดดีกรี 3, 3 จุดยอดดีกรี 5, 2 จุดยอดดีกรี 2 และจุดยอดอื่นทั้งหมดเป็นใบ (ดีกรี 1) มีกี่ใบ L

2 × deg 33 × deg 52 × deg 2

L =

6.ทฤษฎีกราฟยาก

ใช้ขั้นตอนวิธีของไดก์สตราเพื่อหาความยาว d(E) ของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก A ไป E ในกราฟถ่วงน้ำหนัก

เริ่มต้น: Aสิ้นสุด: E

d(E) =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาตัวผกผันของ 17 มอดูโล 29: จำนวน x ที่ 0 < x < 29 และ 17·x ≡ 1 (mod 29)

a = 17n = 29

17⁻¹ mod 29 =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

ใช้การยกกำลังสองซ้ำเพื่อหา 7¹⁰⁰ mod 74

a = 7k = 100n = 74

7¹⁰⁰ mod 74 =

3สารละลาย

1.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: contingency

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

ตารางค่าความจริงทีละแถว

p = 1, q = 1: p → q = 1, q → p = 1, (p → q) → (q → p) = 1

p = 1, q = 0: p → q = 0, q → p = 1, (p → q) → (q → p) = 1

p = 0, q = 1: p → q = 1, q → p = 0, (p → q) → (q → p) = 0

p = 0, q = 0: p → q = 1, q → p = 1, (p → q) → (q → p) = 1

จัดประเภท

(p → q) → (q → p): 1, 1, 0, 1

1 ใน 3 จาก 4 แถว 0 ในแถวอื่น: ประพจน์ที่ไม่แน่นอน (contingency)

คำตอบ

contingency

2.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: a = 1, b = 0, c = 1

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

สมมติฐานและบทสรุปทีละแถว

a = 1, b = 1, c = 1: 1 1 | 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 0 | 1

a = 1, b = 0, c = 1: 1 1 | 0

a = 1, b = 0, c = 0: 1 0 | 0

a = 0, b = 1, c = 1: 1 1 | 1

a = 0, b = 1, c = 0: 1 0 | 1

a = 0, b = 0, c = 1: 0 1 | 0

a = 0, b = 0, c = 0: 1 0 | 0

ตัวอย่างค้าน

a = 1, b = 0, c = 1

คำตอบ

a = 1, b = 0, c = 1

การอ้างเหตุผลรูปแบบนี้ดูเหมือนกฎที่สมเหตุสมผล แต่แถวเดียวก็เพียงพอที่จะแสดงว่าไม่ใช่

3.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

คำตอบ: |(M ∪ P ∪ C)′| = 12

เซตและแผนภาพเวนน์: A ∪ B มีสมาชิกใน A หรือ B (หรือทั้งสอง) A ∩ B มีสมาชิกในทั้งสอง A − B มีสมาชิกของ A ที่ไม่อยู่ใน B และคอมพลีเมนต์ A′ คือทุกอย่างใน U ที่ไม่อยู่ใน A ในแผนภาพเวนน์ นิพจน์เซตทุกนิพจน์คือยูเนียนของบริเวณ จึงนับทีละบริเวณได้ หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออก: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| และ |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

ส่วนกลางและคู่

M ∩ P ∩ C: 6

M ∩ P เท่านั้น: 16 − 6 = 10

M ∩ C เท่านั้น: 20 − 6 = 14

P ∩ C เท่านั้น: 11 − 6 = 5

เซตเดี่ยว

M เท่านั้น: 37 − 10 − 14 − 6 = 7

P เท่านั้น: 27 − 10 − 5 − 6 = 6

C เท่านั้น: 28 − 14 − 5 − 6 = 3

คำตอบ

|M ∪ P ∪ C| = 51

|(M ∪ P ∪ C)′| = 63 − 51 = 12

คำตอบ

|(M ∪ P ∪ C)′| = 12

4.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

คำตอบ: |R| = 17

ความสัมพันธ์: ความสัมพันธ์ R บนเซต X คือเซตของคู่อันดับ (x, y) R สะท้อนเมื่อ (x, x) ∈ R สำหรับทุก x ใน X; สมมาตรเมื่อ (x, y) ∈ R มี (y, x) ∈ R มาด้วยเสมอ; ปฏิสมมาตรเมื่อ (x, y) และ (y, x) อยู่ใน R ทั้งคู่เฉพาะเมื่อ x = y; และแพร่ผ่านเมื่อ (x, y) และ (y, z) ใน R บังคับให้ (x, z) ∈ R ความสัมพันธ์สมมูลคือความสัมพันธ์ที่สะท้อน สมมาตร และแพร่ผ่าน และแบ่ง X เป็นคลาสที่ไม่ซ้อนกัน

คลาส

เศษ 0: 2

เศษ 1: 3

เศษ 2: 2

คู่

|R| = 2² + 3² + 2² = 17

คำตอบ

|R| = 17

5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: L = 13

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว K_n มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เล็มมาการจับมือสำหรับต้นไม้

L + 25 = 2(L + 7) − 2

L = 13

คำตอบ

L = 13

ทางลัด: L = 2 + Σ (d − 2) ของจุดยอดที่มีดีกรี d ≥ 3

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: d(E) = 25

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ไดก์สตราทีละรอบ

แต่ละบรรทัด: จุดยอดที่ยืนยัน ระยะทางสุดท้ายของมัน และเพื่อนบ้านที่ระยะทางดีขึ้น

A (0): C: 14

C (14): B: 24, E: 25, G: 29

B (24): D: 32

E (25): G: 26

G (26)

D (32): F: 45

F (45)

เส้นทางที่สั้นที่สุด

A → C → E

d(E) = 25

คำตอบ

d(E) = 25

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 17⁻¹ mod 29 = 12

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·17 (mod 29)

r = 29, t = 0

r = 17, q = 1, t = 1

r = 12, q = 1, t = −1

r = 5, q = 2, t = 2

r = 2, q = 2, t = −5

r = 1, q = 2, t = 12

อินเวอร์ส

1 ≡ 12·17 (mod 29)

x = 12

ตรวจสอบ: 17·12 = 204 = 7·29 + 1

คำตอบ

17⁻¹ mod 29 = 12

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 7¹⁰⁰ mod 74 = 7

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

เลขชี้กำลังฐานสอง

100 = 1100100₂ = 64 + 32 + 4

การยกกำลังสองซ้ำ

7¹ ≡ 7 (mod 74)

7² ≡ 49 (mod 74)

7⁴ ≡ 33 (mod 74)

7⁸ ≡ 53 (mod 74)

7¹⁶ ≡ 71 (mod 74)

7³² ≡ 9 (mod 74)

7⁶⁴ ≡ 7 (mod 74)

คูณเลขยกกำลังที่ต้องใช้

7¹⁰⁰ ≡ 33·9·7 ≡ 7 (mod 74)

คำตอบ

7¹⁰⁰ mod 74 = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics