คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง: 2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว): p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

สองเซต: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
สามเซต: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
ผลต่างและคอมพลีเมนต์: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
เพาเวอร์เซตและผลคูณคาร์ทีเซียน: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
เซตย่อยขนาด k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
ฟังก์ชัน A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
ความสัมพันธ์บน n สมาชิก: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
ฟังก์ชันประกอบ: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

วิธีการ

วาดแผนภาพเวนน์แล้วพิจารณาทีละบริเวณว่าบริเวณใดเป็นของนิพจน์เซต
สำหรับโจทย์การนับ ให้เติมบริเวณจากตรงกลางออกไป คือทุกเซตก่อน แล้วเป็นคู่ จากนั้นเป็นเซตเดี่ยว และสุดท้ายคือด้านนอก
ใช้หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออกเพื่อตรวจสอบ: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
สำหรับความสัมพันธ์ ให้ทดสอบสมบัติแต่ละข้อกับทุกคู่ และยกตัวอย่างค้านหนึ่งตัวอย่างเมื่อสมบัตินั้นไม่เป็นจริง
สำหรับฟังก์ชัน ให้นับลูกศรที่ชี้เข้าแต่ละสมาชิกของ B ถ้ามากที่สุดหนึ่งลูกคือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ถ้าอย่างน้อยหนึ่งลูกคือฟังก์ชันทั่วถึง

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ: Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
กราฟปรกติ: |E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า: |E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์: วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน K_n: (n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L: (Mᴸ)_ij

วิธีการ

เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

2โจทย์ฝึก

1.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง

ในตารางค่าความจริง 8 แถวของ ¬(¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b)) มีกี่แถวที่เป็นจริง เรียกจำนวนนี้ว่า N

¬(¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b))

N =

2.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก

ประโยคใดสมมูลกับ ¬∀x (P(x) ∨ Q(x)) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น

¬∀x (P(x) ∨ Q(x))

1∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
2∀x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
3∀x (¬P(x) ∨ ¬Q(x))
4∃x (¬P(x) ∨ ¬Q(x))

3.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันปานกลาง

ความสัมพันธ์ R บน {1, 2, 3, 4} วาดเป็นกราฟมีทิศทาง (ลูปหมายถึง (x, x) ∈ R) สมบัติทั้งสี่มีเพียงข้อเดียวที่เป็นจริง ให้คลิกข้อนั้น

R = {(2, 1), (2, 4), (3, 2), (4, 1)}

1สะท้อน
2สมมาตร
3ปฏิสมมาตร
4แพร่ผ่าน

4.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันยาก

แผนภาพลูกศรแสดงฟังก์ชัน f: A → B โดย A = {1, 2, 3} และ B = {a, b, c, d, e} ให้คลิกคำอธิบายที่ตรงกับ f

f = {(1, a), (2, e), (3, d)}

1หนึ่งต่อหนึ่ง แต่ไม่ทั่วถึง
2ทั่วถึง แต่ไม่หนึ่งต่อหนึ่ง
3หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง
4ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟบริบูรณ์ K₅ มีวงจรแฮมิลตันที่แตกต่างกันกี่วงจร H วงจรที่ต่างกันเพียงจุดยอดเริ่มต้นหรือทิศทางนับเป็นวงจรเดียวกัน

K₅

H =

6.ทฤษฎีกราฟยาก

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 5|E| = 7

W =

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาตัวผกผันของ 49 มอดูโล 71: จำนวน x ที่ 0 < x < 71 และ 49·x ≡ 1 (mod 71)

a = 49n = 71

49⁻¹ mod 71 =

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก

เข้ารหัสข้อความ m = 356 ด้วยกุญแจสาธารณะ RSA (n, e) = (851, 17) จงหาข้อความเข้ารหัส c

n = 851e = 17m = 356

c =

3สารละลาย

1.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: N = 7

ตารางค่าความจริง: สูตรที่มีตัวแปรต่างกัน n ตัวมี 2ⁿ แถว หนึ่งแถวต่อทุกชุดของค่าความจริง (1 = จริง, 0 = เท็จ) ทำจากด้านในออกมาและให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง ¬a กลับค่า a ∧ b เป็น 1 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 1 a ∨ b เป็น 0 เฉพาะเมื่อทั้งสองเป็น 0 a → b เป็น 0 เฉพาะเมื่อ a = 1 และ b = 0 a ↔ b เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างเท่ากัน

ตารางค่าความจริงทีละแถว

a = 1, b = 1, c = 1: ¬c = 0, ¬c ↔ a = 0, ¬(¬c ↔ a) = 1, ¬(¬c ↔ a) ∨ b = 1, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) = 0, c → b = 1, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b) = 0, ¬(¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b)) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: ¬c = 1, ¬c ↔ a = 1, ¬(¬c ↔ a) = 0, ¬(¬c ↔ a) ∨ b = 1, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) = 0, c → b = 1, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b) = 0, ¬(¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b)) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: ¬c = 0, ¬c ↔ a = 0, ¬(¬c ↔ a) = 1, ¬(¬c ↔ a) ∨ b = 1, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) = 0, c → b = 0, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b) = 0, ¬(¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b)) = 1

a = 1, b = 0, c = 0: ¬c = 1, ¬c ↔ a = 1, ¬(¬c ↔ a) = 0, ¬(¬c ↔ a) ∨ b = 0, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) = 1, c → b = 1, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b) = 1, ¬(¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b)) = 0

a = 0, b = 1, c = 1: ¬c = 0, ¬c ↔ a = 1, ¬(¬c ↔ a) = 0, ¬(¬c ↔ a) ∨ b = 1, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) = 0, c → b = 1, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b) = 0, ¬(¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b)) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: ¬c = 1, ¬c ↔ a = 0, ¬(¬c ↔ a) = 1, ¬(¬c ↔ a) ∨ b = 1, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) = 0, c → b = 1, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b) = 0, ¬(¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b)) = 1

a = 0, b = 0, c = 1: ¬c = 0, ¬c ↔ a = 1, ¬(¬c ↔ a) = 0, ¬(¬c ↔ a) ∨ b = 0, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) = 1, c → b = 0, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b) = 0, ¬(¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b)) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: ¬c = 1, ¬c ↔ a = 0, ¬(¬c ↔ a) = 1, ¬(¬c ↔ a) ∨ b = 1, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) = 0, c → b = 1, ¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b) = 0, ¬(¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b)) = 1

นับแถวที่มีค่าเป็น 1

¬(¬(¬(¬c ↔ a) ∨ b) ∧ (c → b)): 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1

N = 7

คำตอบ

N = 7

2.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

ย้ายนิเสธเข้าด้านใน

¬∀x (P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

คำตอบ

∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด

3.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

คำตอบ: ปฏิสมมาตร

ความสัมพันธ์: ความสัมพันธ์ R บนเซต X คือเซตของคู่อันดับ (x, y) R สะท้อนเมื่อ (x, x) ∈ R สำหรับทุก x ใน X; สมมาตรเมื่อ (x, y) ∈ R มี (y, x) ∈ R มาด้วยเสมอ; ปฏิสมมาตรเมื่อ (x, y) และ (y, x) อยู่ใน R ทั้งคู่เฉพาะเมื่อ x = y; และแพร่ผ่านเมื่อ (x, y) และ (y, z) ใน R บังคับให้ (x, z) ∈ R ความสัมพันธ์สมมูลคือความสัมพันธ์ที่สะท้อน สมมาตร และแพร่ผ่าน และแบ่ง X เป็นคลาสที่ไม่ซ้อนกัน

สะท้อน

ไม่เป็นจริง: (1, 1) ∉ R

สมมาตร

ไม่เป็นจริง: (2, 1) ∈ R, (1, 2) ∉ R

ปฏิสมมาตร

เป็นจริง

แพร่ผ่าน

ไม่เป็นจริง: (3, 2), (2, 1) ∈ R, (3, 1) ∉ R

คำตอบ

ปฏิสมมาตร

4.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

คำตอบ: หนึ่งต่อหนึ่ง แต่ไม่ทั่วถึง

ฟังก์ชันและการนับ: ฟังก์ชัน f: A → B ให้สมาชิกทุกตัวของ A มีภาพใน B เพียงหนึ่งตัวพอดี f เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) เมื่อสมาชิกต่างกันมีภาพต่างกัน ทั่วถึง (surjective) เมื่อสมาชิกทุกตัวของ B เป็นภาพ และหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) เมื่อเป็นจริงทั้งสองอย่าง เมื่อ |A| = m และ |B| = n มี nᵐ ฟังก์ชัน ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง n!/(n − m)! ฟังก์ชัน (m ≤ n) และฟังก์ชันทั่วถึง Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ ฟังก์ชันโดยหลักการเพิ่มเข้า–ตัดออก |𝒫(A)| = 2ᵐ และ |A × B| = m·n

หนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่

สมาชิกทุกตัวของ B ถูกชี้ไม่เกินหนึ่งครั้ง → หนึ่งต่อหนึ่ง

ทั่วถึงหรือไม่

b, c ไม่ได้รับลูกศร → ไม่ทั่วถึง

คำตอบ

หนึ่งต่อหนึ่ง แต่ไม่ทั่วถึง

คำตอบ

หนึ่งต่อหนึ่ง แต่ไม่ทั่วถึง

5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: H = 12

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว K_n มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

นับ

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

คำตอบ

H = 12

6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 31

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

AC (1): เลือก

AB (4): เลือก

CE (10): เลือก

BE (13): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร

DE (16): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 1 + 4 + 10 + 16 = 31

คำตอบ

W = 31

7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: 49⁻¹ mod 71 = 29

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยาย

เศษ r แต่ละตัวเขียนเป็น r ≡ t·49 (mod 71)

r = 71, t = 0

r = 49, q = 1, t = 1

r = 22, q = 2, t = −1

r = 5, q = 4, t = 3

r = 2, q = 2, t = −13

r = 1, q = 2, t = 29

อินเวอร์ส

1 ≡ 29·49 (mod 71)

x = 29

ตรวจสอบ: 49·29 = 1421 = 20·71 + 1

คำตอบ

49⁻¹ mod 71 = 29

8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: c = 267

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

การยกกำลังสองซ้ำ

17 = 16 + 1

356¹ ≡ 356 (mod 851)

356² ≡ 788 (mod 851)

356⁴ ≡ 565 (mod 851)

356⁸ ≡ 100 (mod 851)

356¹⁶ ≡ 639 (mod 851)

356¹⁷ ≡ 356·639 ≡ 267 (mod 851)

ข้อความเข้ารหัส

c = 267

คำตอบ

c = 267

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics