คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง: ชุดสรุปเร่งรัด

สรุปสูตร ขั้นตอนวิธีทำที่สำคัญของทุกหัวข้อ และโจทย์ฝึก 8 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียดไว้ท้ายเล่ม

โจทย์ใหม่กลับไปที่รายวิชา

ในหน้าต่างพิมพ์ ให้เลือก “บันทึกเป็น PDF” เพื่อเก็บสำเนาไว้ในอุปกรณ์ของคุณ

1สูตรและวิธีทำ

ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

แถวของตารางค่าความจริง
2ⁿ
นัยสำคัญ (ถ้า–แล้ว)
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
นิเสธของนัย
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
เงื่อนไขสองทาง
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
กฎของเดอมอร์แกน
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
กฎการแจกแจง
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
นิเสธของตัวบ่งปริมาณ
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
โมดัสโพเนนส์ โมดัสโทลเลนส์
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

วิธีการ

  1. นับจำนวนตัวแปรที่ต่างกัน ตารางค่าความจริงมี 2ⁿ แถว โดยเริ่มจากแถวที่ทุกตัวเป็น 1
  2. ให้ทุกประพจน์ย่อยมีคอลัมน์ของตัวเอง และเติมคอลัมน์จากด้านในออกมาด้านนอก
  3. ใช้กฎของตัวเชื่อมแต่ละตัว: → เป็น 0 เฉพาะเมื่อ 1 → 0 และ ↔ เป็น 1 เมื่อทั้งสองข้างมีค่าเท่ากัน
  4. สำหรับความสมมูล ให้เปรียบเทียบคอลัมน์สุดท้ายทีละแถว สำหรับการอ้างเหตุผล ให้ดูเฉพาะแถวที่ทุกสมมติฐานเป็น 1
  5. การหานิเสธของข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ ให้ย้าย ¬ เข้าไปด้านใน สลับ ∀ กับ ∃ และใส่นิเสธให้สูตรด้านใน

เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

สองเซต
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
สามเซต
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
ผลต่างและคอมพลีเมนต์
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
เพาเวอร์เซตและผลคูณคาร์ทีเซียน
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
เซตย่อยขนาด k
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
ฟังก์ชัน A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
ความสัมพันธ์บน n สมาชิก
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
ฟังก์ชันประกอบ
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

วิธีการ

  1. วาดแผนภาพเวนน์แล้วพิจารณาทีละบริเวณว่าบริเวณใดเป็นของนิพจน์เซต
  2. สำหรับโจทย์การนับ ให้เติมบริเวณจากตรงกลางออกไป คือทุกเซตก่อน แล้วเป็นคู่ จากนั้นเป็นเซตเดี่ยว และสุดท้ายคือด้านนอก
  3. ใช้หลักการเพิ่มเข้า–ตัดออกเพื่อตรวจสอบ: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
  4. สำหรับความสัมพันธ์ ให้ทดสอบสมบัติแต่ละข้อกับทุกคู่ และยกตัวอย่างค้านหนึ่งตัวอย่างเมื่อสมบัตินั้นไม่เป็นจริง
  5. สำหรับฟังก์ชัน ให้นับลูกศรที่ชี้เข้าแต่ละสมาชิกของ B ถ้ามากที่สุดหนึ่งลูกคือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ถ้าอย่างน้อยหนึ่งลูกคือฟังก์ชันทั่วถึง

ทฤษฎีกราฟ

เล็มมาการจับมือ
Σ deg(v) = 2|E|
กราฟบริบูรณ์
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
กราฟปรกติ
|E| = n·k/2
ต้นไม้และป่า
|E| = n − 1, |E| = n − c
ใบของต้นไม้
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
ออยเลอร์
วงจร: ดีกรีเป็นคู่ทุกจุดยอด; ทางเดิน: มีดีกรีคี่พอดี 2 จุดยอด
วงจรแฮมิลตันใน Kn
(n − 1)!/2
การปรับค่าของไดก์สตรา
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
วอล์กความยาว L
(Mᴸ)ij

วิธีการ

  1. เขียนดีกรีของทุกจุดยอด ผลบวกของดีกรีเท่ากับสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อม
  2. สำหรับโจทย์ออยเลอร์ ให้ตรวจว่ากราฟเชื่อมโยงกัน และนับจุดยอดที่มีดีกรีคี่
  3. สำหรับต้นไม้ ให้ใช้ว่ามี n − 1 เส้นเชื่อม และเล็มมาการจับมือ
  4. สำหรับไดก์สตรา ให้เก็บตารางระยะทางชั่วคราว และยืนยันจุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีค่าน้อยที่สุดในแต่ละรอบ
  5. สำหรับต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุด ให้เรียงเส้นเชื่อมตามน้ำหนักและข้ามทุกเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร (ครัสคัล) หรือขยายต้นไม้ต้นเดียวจากจุดยอดเริ่มต้น (พริม)

ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

การหารที่มีเศษ
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
ยูคลิด
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
ตัวคูณร่วมน้อย
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
อินเวอร์ส
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
ความสอดคล้องเชิงเส้น
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
ฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
แฟร์มา
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

วิธีการ

  1. ลดทุกจำนวนมอดูโล n ก่อน เศษจะอยู่ระหว่าง 0 ถึง n − 1
  2. สำหรับ ห.ร.ม. ให้หารซ้ำด้วยขั้นตอนวิธีของยูคลิด เศษที่ไม่เป็นศูนย์ตัวสุดท้ายคือ ห.ร.ม.
  3. สำหรับตัวผกผัน ให้ทำขั้นตอนวิธีแบบขยาย และเก็บสัมประสิทธิ์ของ a ถ้าเป็นลบให้บวก n
  4. แก้ a·x ≡ b โดยคูณด้วย a⁻¹ รวมสองความสอดคล้องโดยเขียน x = r₁ + m₁k
  5. สำหรับเลขยกกำลัง ให้เขียนเลขชี้กำลังเป็นเลขฐานสองแล้วยกกำลังสองซ้ำ ใน RSA จะได้ d = e⁻¹ mod φ(n) โดย φ(n) = (p − 1)(q − 1)

2โจทย์ฝึก

1.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ปานกลาง
¬(a ∧ c) → ¬b¬b → ¬(a ∧ c)b ∧ ¬(a ∧ c)(a ∧ c) → b

คุณต้องการพิสูจน์ b → (a ∧ c) ด้วยการแย้งสลับที่ ควรพิสูจน์นัยใดแทน ให้คลิกนัยนั้น

b → (a ∧ c)
  1. 1¬(a ∧ c) → ¬b
  2. 2¬b → ¬(a ∧ c)
  3. 3b ∧ ¬(a ∧ c)
  4. 4(a ∧ c) → b
2.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์ยาก
∃x (P(x) → ∀y ¬R(x, y))∃x (¬P(x) ∧ ∃y R(x, y))∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))∀x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

ประโยคใดสมมูลกับ ¬∀x (P(x) → ∃y R(x, y)) เมื่อย้ายนิเสธเข้าด้านในสุด ให้คลิกประโยคนั้น

¬∀x (P(x) → ∃y R(x, y))
  1. 1∃x (P(x) → ∀y ¬R(x, y))
  2. 2∃x (¬P(x) ∧ ∃y R(x, y))
  3. 3∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
  4. 4∀x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
3.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันปานกลาง
1234

R = {(1, 2), (3, 2), (3, 4), (4, 3)} เป็นความสัมพันธ์บน {1, 2, 3, 4} ต้องเพิ่มคู่อันดับให้ R อย่างน้อยกี่คู่ k เพื่อให้เป็นความสัมพันธ์สะท้อน

R = {(1, 2), (3, 2), (3, 4), (4, 3)}
k =
4.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชันยาก
AB1234abcdหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ไม่ทั่วถึงทั่วถึง แต่ไม่หนึ่งต่อหนึ่งหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงไม่ใช่ทั้งสองอย่าง

แผนภาพลูกศรแสดงฟังก์ชัน f: A → B โดย A = {1, 2, 3, 4} และ B = {a, b, c, d} ให้คลิกคำอธิบายที่ตรงกับ f

f = {(1, b), (2, c), (3, d), (4, a)}
  1. 1หนึ่งต่อหนึ่ง แต่ไม่ทั่วถึง
  2. 2ทั่วถึง แต่ไม่หนึ่งต่อหนึ่ง
  3. 3หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง
  4. 4ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง
5.ทฤษฎีกราฟปานกลาง

กราฟเชื่อมโยงมี 20 จุดยอดและ 20 เส้นเชื่อม ต้องเอาเส้นเชื่อมออกกี่เส้น k เพื่อให้เหลือต้นไม้ทอดข้าม

|V| = 20|E| = 20
k =
6.ทฤษฎีกราฟยาก
3510111816139ABCDEFG

จงหาน้ำหนักรวม W ของต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดของกราฟถ่วงน้ำหนัก

|V| = 7|E| = 9
W =
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ปานกลาง

จงหาฟังก์ชันโทเทียนต์ของออยเลอร์ φ(65) ซึ่งเป็นจำนวนของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 65 ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ 65

n = 65 = 5·13
φ(65) =
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์ยาก
mc = me​ mod n209m = cd​ mod n?(n, e) = (377, 19)d

กุญแจ RSA ใช้ p = 13, q = 29 และ e = 19 จงถอดรหัสข้อความเข้ารหัส c = 209: หาข้อความ m

p = 13q = 29e = 19c = 209
m =

3สารละลาย

1.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ¬(a ∧ c) → ¬b

ความสมมูลเชิงตรรกะ: สูตรสองสูตรสมมูลกัน (≡) เมื่อมีค่าเท่ากันทุกแถวของตารางค่าความจริง ซ้ำซ้อน (tautology) เป็น 1 ทุกแถว ขัดแย้ง (contradiction) เป็น 0 ทุกแถว และ contingency ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง กฎที่มีประโยชน์: กฎของเดอมอร์แกน ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b และ ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (การแย้งสลับที่); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; และกฎการแจกแจง a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

ส่วนต่าง ๆ ของนัย

a = b, b = a ∧ c

การแย้งสลับที่

¬b → ¬a = ¬(a ∧ c) → ¬b

คำตอบ

¬(a ∧ c) → ¬b

การแย้งสลับที่สมมูลกับประโยคเดิม ดังนั้นการพิสูจน์การแย้งสลับที่ก็พิสูจน์ประโยคเดิม

2.ตรรกศาสตร์ประพจน์และการพิสูจน์

คำตอบ: ∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

ตัวบ่งปริมาณและการอ้างเหตุผล: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) และ ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x) ย้ายนิเสธเข้าด้านใน สลับทุกตัวบ่งปริมาณที่นิเสธผ่าน และใส่นิเสธให้สูตรด้านในด้วยกฎของประพจน์ เช่น ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลเมื่อบทสรุปเป็น 1 ในทุกแถวที่สมมติฐานทั้งหมดเป็น 1 แถวเดียวที่สมมติฐานเป็นจริงแต่บทสรุปเป็นเท็จคือตัวอย่างค้านและแสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล

ย้ายนิเสธเข้าด้านใน

¬∀x (P(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

คำตอบ

∃x (P(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

ตัวเลือกอื่นอาจคงตัวบ่งปริมาณไว้ไม่เปลี่ยน เปลี่ยนลำดับของตัวบ่งปริมาณ หรือใส่นิเสธให้สูตรด้านในผิด

3.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

คำตอบ: k = 4

ความสัมพันธ์: ความสัมพันธ์ R บนเซต X คือเซตของคู่อันดับ (x, y) R สะท้อนเมื่อ (x, x) ∈ R สำหรับทุก x ใน X; สมมาตรเมื่อ (x, y) ∈ R มี (y, x) ∈ R มาด้วยเสมอ; ปฏิสมมาตรเมื่อ (x, y) และ (y, x) อยู่ใน R ทั้งคู่เฉพาะเมื่อ x = y; และแพร่ผ่านเมื่อ (x, y) และ (y, z) ใน R บังคับให้ (x, z) ∈ R ความสัมพันธ์สมมูลคือความสัมพันธ์ที่สะท้อน สมมาตร และแพร่ผ่าน และแบ่ง X เป็นคลาสที่ไม่ซ้อนกัน

คู่ที่ต้องเพิ่ม

{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

นับ

k = 4

คำตอบ

k = 4
4.เซต ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน

คำตอบ: หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

ฟังก์ชันและการนับ: ฟังก์ชัน f: A → B ให้สมาชิกทุกตัวของ A มีภาพใน B เพียงหนึ่งตัวพอดี f เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) เมื่อสมาชิกต่างกันมีภาพต่างกัน ทั่วถึง (surjective) เมื่อสมาชิกทุกตัวของ B เป็นภาพ และหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) เมื่อเป็นจริงทั้งสองอย่าง เมื่อ |A| = m และ |B| = n มี nᵐ ฟังก์ชัน ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง n!/(n − m)! ฟังก์ชัน (m ≤ n) และฟังก์ชันทั่วถึง Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ ฟังก์ชันโดยหลักการเพิ่มเข้า–ตัดออก |𝒫(A)| = 2ᵐ และ |A × B| = m·n

หนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่

สมาชิกทุกตัวของ B ถูกชี้ไม่เกินหนึ่งครั้ง → หนึ่งต่อหนึ่ง

ทั่วถึงหรือไม่

สมาชิกทุกตัวของ B ถูกชี้ → ทั่วถึง

คำตอบ

หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

คำตอบ

หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง
5.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: k = 1

ออยเลอร์ แฮมิลตัน และต้นไม้: กราฟเชื่อมโยงมีวงจรออยเลอร์ (ผ่านทุกเส้นเชื่อมครั้งเดียวและกลับจุดเริ่มต้น) เมื่อทุกจุดยอดมีดีกรีคู่ และมีทางเดินออยเลอร์ที่ไม่ใช่วงจรเมื่อมีจุดยอดดีกรีคี่พอดีสองจุด ทางเดินนั้นไปจากจุดยอดคี่จุดหนึ่งถึงอีกจุดหนึ่ง วงจรแฮมิลตันผ่านทุกจุดยอดครั้งเดียว Kn มีวงจรแบบนี้ (n − 1)!/2 วงจร ต้นไม้ที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม และกราฟเชื่อมโยงที่มี m เส้นเชื่อมจะเหลือต้นไม้ทอดข้ามหลังเอาเส้นเชื่อมออก m − n + 1 เส้น

เส้นเชื่อมของต้นไม้ทอดข้าม

20 − 1 = 19

เส้นเชื่อมที่ต้องเอาออก

k = 20 − 19 = 1

คำตอบ

k = 1
6.ทฤษฎีกราฟ

คำตอบ: W = 37

เส้นทางที่สั้นที่สุดและต้นไม้ทอดข้าม: ขั้นตอนวิธีของไดก์สตรายืนยันหนึ่งจุดยอดต่อรอบ: จุดยอดที่ยังไม่ยืนยันซึ่งมีระยะทางชั่วคราวน้อยที่สุด ระยะทางของมันเป็นค่าสุดท้ายแล้ว และเพื่อนบ้าน v ทุกจุดได้ d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) ขั้นตอนวิธีของครัสคัลสร้างต้นไม้ทอดข้ามค่าน้อยที่สุดโดยเลือกเส้นเชื่อมจากเบาไปหนักและข้ามเส้นที่ทำให้เกิดวัฏจักร ขั้นตอนวิธีของพริมขยายต้นไม้หนึ่งต้นจากจุดยอดเริ่มต้นโดยเพิ่มเส้นเชื่อมที่เบาที่สุดที่ออกจากต้นไม้เสมอ ต้นไม้ทอดข้ามที่มี n จุดยอดมี n − 1 เส้นเชื่อม

ขั้นตอนวิธีของครัสคัล

DE (1): เลือก
AB (3): เลือก
AC (5): เลือก
DF (8): เลือก
GC (9): เลือก
BC (10): ข้าม ทำให้เกิดวัฏจักร
BD (11): เลือก

น้ำหนักรวม

W = 1 + 3 + 5 + 8 + 9 + 11 = 37

คำตอบ

W = 37
7.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: φ(65) = 48

ตัวผกผันและความสอดคล้อง: a มีตัวผกผันมอดูโล n เมื่อ gcd(a, n) = 1 เท่านั้น ขั้นตอนวิธีของยูคลิดแบบขยายเขียน 1 = s·n + t·a แล้ว a⁻¹ ≡ t (mod n) ความสอดคล้อง a·x ≡ b (mod n) ที่ gcd(a, n) = 1 มีคำตอบ x ≡ a⁻¹·b ความสอดคล้องสองข้อ x ≡ r₁ (mod m₁) และ x ≡ r₂ (mod m₂) ที่มอดูลัสเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันมีคำตอบเดียวมอดูโล m₁·m₂ (ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน) φ(n) ของออยเลอร์นับจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง n ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p)

ตัวประกอบเฉพาะ

65 = 5·13

โทเทียนต์

φ(65) = φ(5)·φ(13) = 4·12 = 48

คำตอบ

φ(65) = 48
8.ทฤษฎีจำนวนและเลขคณิตมอดูลาร์

คำตอบ: m = 274

เลขยกกำลังมอดูลาร์และ RSA: คำนวณ aᵏ mod n ด้วยการยกกำลังสองซ้ำ: เขียน k เป็นเลขฐานสอง ยกกำลังสอง ลดค่าหลังทุกขั้นตอน และคูณเลขยกกำลังที่บิตเป็น 1 แฟร์มา: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) สำหรับจำนวนเฉพาะ p ที่หาร a ไม่ลงตัว ดังนั้นลดเลขชี้กำลังมอดูโล p − 1 ได้ RSA: เลือกจำนวนเฉพาะ p และ q, n = p·q และ φ(n) = (p − 1)(q − 1) เลขชี้กำลังสาธารณะ e เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ φ(n) และเลขชี้กำลังส่วนตัวคือ d = e⁻¹ mod φ(n) เข้ารหัสด้วย c = mᵉ mod n และถอดรหัสด้วย m = cᵈ mod n

เลขชี้กำลังส่วนตัว

n = 377, φ(n) = 336
d = 19−1 mod 336 = 283

ถอดรหัสด้วยการยกกำลังสองซ้ำ

283 = 256 + 16 + 8 + 2 + 1
2091 ≡ 209 (mod 377)
2092 ≡ 326 (mod 377)
2094 ≡ 339 (mod 377)
2098 ≡ 313 (mod 377)
20916 ≡ 326 (mod 377)
20932 ≡ 339 (mod 377)
20964 ≡ 313 (mod 377)
209128 ≡ 326 (mod 377)
209256 ≡ 339 (mod 377)
209283 ≡ 209·326·313·326·339 ≡ 274 (mod 377)

ข้อความ

m = 274
ตรวจสอบ: 27419 mod 377 = 209

คำตอบ

m = 274

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics